যদি f(x)=sinx  হয় তবে-

1. f'(2x)=2cos2x
2. intf(π/2-2x)dx=1/2sin2x+c 
3.  int_0^(π/2)f(x)dx=1  

নিচের কোনটি সঠিক? 

প্রশ্নের সমাধান:

1. \(f'(2x) = 2 \cos 2x\)
   
2. \(\int f(\frac{\pi}{2} - 2x) dx = \frac{1}{2} \sin 2x + c\)
   
3. \(\int_0^{\pi/2} f(x) dx = 1\)
   

সমাধান:

1. প্রথমটি পরীক্ষা করি:
   যেখানে \(f(x) = \sin x\), তাহলে \(f'(x) = \cos x\)
   তাহলে, \(f'(2x) = \cos 2x\)
   অর্থাৎ, দেইক করি:
   \(f'(2x) = \cos 2x \neq 2 \cos 2x\)
   সুতরাং, প্রথমটি ভুল
2. দ্বিতীয়টি পরীক্ষা করি:
   প্রদত্ত ইন্টিগ্রা??: \(\int f(\frac{\pi}{2} - 2x) dx\)
   প্রথমে, substitution করি:
   \(u = \frac{\pi}{2} - 2x\)
   তাহলে, \(du = -2 dx \Rightarrow dx = -\frac{1}{2} du\)
   অতএব,
   \[ \int f(\frac{\pi}{2} - 2x) dx = \int \sin u \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int \sin u du \] \[ = -\frac{1}{2} (-\cos u) + C = \frac{1}{2} \cos u + C \] এখন, \(u = \frac{\pi}{2} - 2x\), তাই
   \[ = \frac{1}{2} \cos \left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) + C \] \[ = \frac{1}{2} \sin 2x + C \] অর্থাৎ,
   \(\int f(\frac{\pi}{2} - 2x) dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C\) প্রদত্ত উত্তর সত্য। সুতরাং, দ্বিতীয়টি সঠিক।
3. তৃতীয়টি পরীক্ষা করি:
   \[ \int_0^{\pi/2} \sin x dx = [-\cos x]_0^{\pi/2} = (-\cos \frac{\pi}{2}) - (-\cos 0) = (0) - (-1) = 1 \] অর্থাৎ, তৃতীয়টি সঠিক।

উপসংহার:

উত্তর: