যদি  intf(x)dx=ln(x+sqrt(x^2-1))+c হয়,তাহলে  f(x) =কত?

প্রথমে আমাদের দেওয়া হয়েছে:

\(\int f(x) \, dx = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) + C\)

এখন, উভয় পক্ষের ডিফারেনশিয়েশন করি:

\(f(x) = \frac{d}{dx} \left[\ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)\right]\)

প্রথমে, ডিফারেনশিয়েশনের নিয়ম অনুসারে:

\(f(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \times \frac{d}{dx} \left[x + \sqrt{x^2 - 1}\right]\)

এখন, \(\frac{d}{dx} \left[x + \sqrt{x^2 - 1}\right]\) নির্ণয় করি:

\(\frac{d}{dx} [x] = 1\)

\(\frac{d}{dx} \left[\sqrt{x^2 - 1}\right] = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \times 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\)

অতএব,

\(f(x) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \right)\)

এখন, অভিন্ন নাম্বার কমানোর জন্য, মূলতঃ:

\(f(x) = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}}{x + \sqrt{x^2 - 1}}\)

একই নাম্বার দিয়ে গুণ করে, এর সরলীকরণ করি:

\(f(x) = \frac{\frac{\sqrt{x^2 - 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1}}}{x + \sqrt{x^2 - 1}}\)

এখন, উপরের গুণনীয়কগুলোকে একত্র করি:

\(f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1} (x + \sqrt{x^2 - 1})}\)

তাহলে, কারণ \(\sqrt{x^2 - 1} + x = x + \sqrt{x^2 - 1}\), তাই:

\(f(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2 - 1} (x + \sqrt{x^2 - 1})}\)

সুতরাং, এই গুণনীয়কগুলি সমান উপরে ও নিচে, ফলে:

\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\)