int(xe^-xdx)/(x-1)^2=?

প্রশ্ন: ∫ xe^-x / (x-1)² dx = ?

সমাধান:

আমরা প্রথমে ইন্টিগ্রেশনটিকে একটু অন্যভাবে লিখি:

∫ xe^-x / (x-1)² dx = ∫ ((x-1) + 1)e^-x / (x-1)² dx

= ∫ (x-1)e^-x / (x-1)² dx + ∫ e^-x / (x-1)² dx

= ∫ e^-x / (x-1) dx + ∫ e^-x / (x-1)² dx

এখন, প্রথম ইন্টিগ্রালটির জন্য আমরা পার্শিয়াল ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করি: ∫ u dv = uv - ∫ v du

ধরি, u = e^-x এবং dv = 1 / (x-1) dx

তাহলে, du = -e^-x dx এবং v = ln|x-1|

সুতরাং, ∫ e^-x / (x-1) dx = e^-x ln|x-1| - ∫ ln|x-1| (-e^-x) dx

= e^-x ln|x-1| + ∫ e^-x ln|x-1| dx

এই ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে লাভ নেই। তাই অন্যভাবে করতে হবে।

আবার, ∫ xe^-x / (x-1)² dx = ∫ e^-x x/(x-1)² dx

এখন, u = x e^-x and dv = 1/(x-1)² dx

তাহলে du = (e^-x - x e^-x)dx = e^-x(1-x) dx এবং v = -1/(x-1)

সুতরাং ∫ xe^-x / (x-1)² dx = - xe^-x/(x-1) - ∫ (-1/(x-1)) e^-x(1-x) dx

= - xe^-x/(x-1) + ∫ e^-x dx

= - xe^-x/(x-1) - e^-x + c

= - e^-x (x/(x-1) + 1) + c

= - e^-x ((x + x -1)/(x-1)) + c

= - e^-x ((2x -1)/(x-1)) + c হবে না।

আংশিক ভগ্নাংশ করি : x/(x-1)^2 = A/(x-1) + B/(x-1)^2

x = A(x-1) + B

x = Ax - A + B

A = 1, -A+B = 0 => B = 1

সুতরাং, ∫ xe^-x / (x-1)² dx = ∫ e^-x[1/(x-1) + 1/(x-1)²] dx

এখন, ∫ e^-x/(x-1) dx + ∫ e^-x/(x-1)² dx

প্রথম ইন্টিগ্রালে u = 1/(x-1) and dv = e^-x dx

du = -1/(x-1)² dx and v = -e^-x

∫ e^-x/(x-1) dx = -e^-x/(x-1) - ∫ -e^-x (-1/(x-1)²) dx

= -e^-x/(x-1) - ∫ e^-x /(x-1)² dx

তাহলে, ∫ e^-x/(x-1) dx + ∫ e^-x/(x-1)² dx = -e^-x/(x-1) - ∫ e^-x /(x-1)² dx + ∫ e^-x/(x-1)² dx = -e^-x/(x-1) + c

অতএব, ∫ xe^-x / (x-1)² dx = - e^-x / (x-1) + c 🥳🎉