f(x)=x^2/(x^2-4) এবং   A=int_3^4f(x)dx  ।

 intf(x)dx = কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

আমরা ফাংশন \(f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}\) এর ইন্টিগ্রাল নির্ণয় করব। প্রথমত, ইন্টিগ্রালের জন্য উপযুক্ত রূপান্তর বা বিভাজন প্রয়োজন। প্রথমে, \(f(x)\) কে বিভাজন করি: \[ f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4} \] এটি লিখতে পারি: \[ f(x) = \frac{x^2 - 4 + 4}{x^2 - 4} = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} + \frac{4}{x^2 - 4} = 1 + \frac{4}{x^2 - 4} \] এখন, ইন্টিগ্রালটি হবে: \[ \int f(x) dx = \int \left( 1 + \frac{4}{x^2 - 4} \right) dx = \int 1\, dx + 4 \int \frac{1}{x^2 - 4} dx \] প্রথম ইন্টিগ্রাল: \[ \int 1\, dx = x + C \] অন্যটি: \[ 4 \int \frac{1}{x^2 - 4} dx \] চিহ্নিত কর: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] এবং Partial Fraction Decomposition: \[ \frac{1}{x^2 - 4} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2} \] সমাধান করি: \[ 1 = A(x + 2) + B(x - 2) \] যেখানে \(x\) এর মানে বিশ্লেষণ করে: \[ 1 = A x + 2A + B x - 2B \] \[ 1 = (A + B) x + (2A - 2B) \] অর্থাৎ, \[ A + B = 0 \quad \Rightarrow \quad B = -A \] এবং, \[ 2A - 2B = 1 \] বিন্যাসে বসালে: \[ 2A - 2(-A) = 1 \Rightarrow 2A + 2A = 1 \Rightarrow 4A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{4} \] অতঃপর, \[ B = -A = -\frac{1}{4} \] অতএব, \[ \frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1/4}{x - 2} - \frac{1/4}{x + 2} \] এখন ইন্টিগ্রালটি লিখি: \[ 4 \int \frac{1}{x^2 - 4} dx = 4 \int \left( \frac{1/4}{x - 2} - \frac{1/4}{x + 2} \right) dx = \int \frac{1}{x - 2} dx - \int \frac{1}{x + 2} dx \] ইন্টিগ্রাল সমাধান: \[ \int \frac{1}{x - a} dx = \ln |x - a| + C \] সুতরাং, \[ \int f(x) dx = x + \ln |x - 2| - \ln |x + 2| + C \] এবং, \[ \boxed{ \int f(x) dx = x + \ln \left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| + C } \]

ডিফারেন্স দিয়ে নির্ণয়:

প্রশ্নে দেয়া সীমা: \(x = 3\) থেকে \(x = 4\) অতএব, \[ A = \int_{3}^{4} f(x) dx = \left[ x + \ln \left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| \right]_3^4 \] প্রথমে, \[ \text{At } x=4: \quad 4 + \ln \left| \frac{4 - 2}{4 + 2} \right| = 4 + \ln \left| \frac{2}{6} \right| = 4 + \ln \left( \frac{1}{3} \right) \] এবং, \[ \text{At } x=3: \quad 3 + \ln \left| \frac{3 - 2}{3 + 2} \right| = 3 + \ln \left| \frac{1}{5} \right| = 3 + \ln \left( \frac{1}{5} \right) \] অতএব, \[ A = \left( 4 + \ln \frac{1}{3} \right) - \left( 3 + \ln \frac{1}{5} \right) = (4 - 3) + \left( \ln \frac{1}{3} - \ln \frac{1}{5} \right) \] সরলীকরণ: \[ A = 1 + \ln \left( \frac{1/3}{1/5} \right) = 1 + \ln \left( \frac{1/3 \times 5}{1} \right) = 1 + \ln \left( \frac{5}{3} \right) \] সুতরাং,

উত্তর:

\[ \boxed{ \int_{3}^{4} f(x) dx = 1 + \ln \left( \frac{5}{3} \right) } \]