f(x)=x^2/(x^2-4) এবং A=int_3^4f(x)dx ।
intf(x)dx = কত?
সঠিক উত্তরঃ
C.
x+ln[(x-2)/(x+2)]+c
Another Explanation (5):
সমাধান:
আমরা ফাংশন \(f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}\) এর ইন্টিগ্রাল নির্ণয় করব। প্রথমত, ইন্টিগ্রালের জন্য উপযুক্ত রূপান্তর বা বিভাজন প্রয়োজন।
প্রথমে, \(f(x)\) কে বিভাজন করি:
\[
f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}
\]
এটি লিখতে পারি:
\[
f(x) = \frac{x^2 - 4 + 4}{x^2 - 4} = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4} + \frac{4}{x^2 - 4} = 1 + \frac{4}{x^2 - 4}
\]
এখন, ইন্টিগ্রালটি হবে:
\[
\int f(x) dx = \int \left( 1 + \frac{4}{x^2 - 4} \right) dx = \int 1\, dx + 4 \int \frac{1}{x^2 - 4} dx
\]
প্রথম ইন্টিগ্রাল:
\[
\int 1\, dx = x + C
\]
অন্যটি:
\[
4 \int \frac{1}{x^2 - 4} dx
\]
চিহ্নিত কর:
\[
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
\]
এবং Partial Fraction Decomposition:
\[
\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 2}
\]
সমাধান করি:
\[
1 = A(x + 2) + B(x - 2)
\]
যেখানে \(x\) এর মানে বিশ্লেষণ করে:
\[
1 = A x + 2A + B x - 2B
\]
\[
1 = (A + B) x + (2A - 2B)
\]
অর্থাৎ,
\[
A + B = 0 \quad \Rightarrow \quad B = -A
\]
এবং,
\[
2A - 2B = 1
\]
বিন্যাসে বসালে:
\[
2A - 2(-A) = 1 \Rightarrow 2A + 2A = 1 \Rightarrow 4A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{4}
\]
অতঃপর,
\[
B = -A = -\frac{1}{4}
\]
অতএব,
\[
\frac{1}{x^2 - 4} = \frac{1/4}{x - 2} - \frac{1/4}{x + 2}
\]
এখন ইন্টিগ্রালটি লিখি:
\[
4 \int \frac{1}{x^2 - 4} dx = 4 \int \left( \frac{1/4}{x - 2} - \frac{1/4}{x + 2} \right) dx = \int \frac{1}{x - 2} dx - \int \frac{1}{x + 2} dx
\]
ইন্টিগ্রাল সমাধান:
\[
\int \frac{1}{x - a} dx = \ln |x - a| + C
\]
সুতরাং,
\[
\int f(x) dx = x + \ln |x - 2| - \ln |x + 2| + C
\]
এবং,
\[
\boxed{
\int f(x) dx = x + \ln \left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| + C
}
\]
ডিফারেন্স দিয়ে নির্ণয়:
প্রশ্নে দেয়া সীমা: \(x = 3\) থেকে \(x = 4\)
অতএব,
\[
A = \int_{3}^{4} f(x) dx = \left[ x + \ln \left| \frac{x - 2}{x + 2} \right| \right]_3^4
\]
প্রথমে,
\[
\text{At } x=4: \quad 4 + \ln \left| \frac{4 - 2}{4 + 2} \right| = 4 + \ln \left| \frac{2}{6} \right| = 4 + \ln \left( \frac{1}{3} \right)
\]
এবং,
\[
\text{At } x=3: \quad 3 + \ln \left| \frac{3 - 2}{3 + 2} \right| = 3 + \ln \left| \frac{1}{5} \right| = 3 + \ln \left( \frac{1}{5} \right)
\]
অতএব,
\[
A = \left( 4 + \ln \frac{1}{3} \right) - \left( 3 + \ln \frac{1}{5} \right) = (4 - 3) + \left( \ln \frac{1}{3} - \ln \frac{1}{5} \right)
\]
সরলীকরণ:
\[
A = 1 + \ln \left( \frac{1/3}{1/5} \right) = 1 + \ln \left( \frac{1/3 \times 5}{1} \right) = 1 + \ln \left( \frac{5}{3} \right)
\]
সুতরাং,
উত্তর:
\[
\boxed{
\int_{3}^{4} f(x) dx = 1 + \ln \left( \frac{5}{3} \right)
}
\]
