\(\int_0^{\pi/3} \frac{dx}{1 - \sin x}\) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_0^{\pi/3} \frac{dx}{1 - \sin x}\) এর মান কি? সমাধান: প্রথমে, ইন্টিগ্রালটির সমাধানে আমরা সাধারণত ট্রিগনোমেট্রিক রূপান্তর ব্যবহার করি। ধরা যাক, \[ I = \int \frac{dx}{1 - \sin x} \] এখন, আমরা রূপান্তর করতে পারি: \[ \frac{1}{1 - \sin x} \] এটি রূপান্তর করতে আমরা নিম্নলিখিত পরিচিত সূত্রটি ব্যবহার করব: \[ \frac{1}{1 - \sin x} = \frac{\sec^2 \frac{x}{2}}{\cos x} \quad \text{(সাধারণত এই রূপান্তর নয়, বরং অন্য উপায় ব্যবহার করি)} \] অথবা, আরও সাধারণভাবে, আমরা রূপান্তর করতে পারি: \[ 1 - \sin x = 1 - \sin x \] আমরা ব্যবহার করব ট্রিগনোমেট্রিক রূপান্তর: \[ \frac{1}{1 - \sin x} = \frac{1 + \sin x}{(1 - \sin x)(1 + \sin x)} = \frac{1 + \sin x}{1 - \sin^2 x} = \frac{1 + \sin x}{\cos^2 x} \] তাই, \[ I = \int \frac{1 + \sin x}{\cos^2 x} dx \] এখন, বিভাজিত করে দুটি অংশে লিখি: \[ I = \int \frac{1}{\cos^2 x} dx + \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx \] পাঠ করবো: \[ I = \int \sec^2 x\, dx + \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx \] প্রথম অংশের সমাধান: \[ \int \sec^2 x\, dx = \tan x + C \] দ্বিতীয় অংশের জন্য, আমরা substitution করি: \[ u = \cos x \Rightarrow du = - \sin x\, dx \] অতএব, \[ \sin x\, dx = - du \] এবং, \[ \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = - \int \frac{1}{u^2} du \] এটি সমাধান হবে: \[ - \int u^{-2} du = - \left( \frac{u^{-1}}{-1} \right) + C = \frac{1}{u} + C = \frac{1}{\cos x} \] অতএব, \[ I = \tan x + \frac{1}{\cos x} + C \] অর্থাৎ, \[ \int \frac{dx}{1 - \sin x} = \tan x + \sec x + C \] অতএব, নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালটির মান: \[ \int_0^{\pi/3} \frac{dx}{1 - \sin x} = \left[ \tan x + \sec x \right]_0^{\pi/3} \] অর্থাৎ, প্রথমে, \[ x = \frac{\pi}{3} \] সুতরাং, \[ \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \] \[ \sec \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\cos \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \] পরের দিকে, \[ x = 0 \] সুতরাং, \[ \tan 0 = 0 \] \[ \sec 0 = 1 \] অতএব, মান হবে: \[ (\sqrt{3} + 2) - (0 + 1) = \sqrt{3} + 2 - 1 = \sqrt{3} + 1 \] উত্তর: \(\boxed{\mathbf{1 + \sqrt{3}}}\)