∫dx/(x^2−x+1)=  ?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: \[ \int \frac{dx}{x^2 - x + 1} \] প্রথমে, \(x^2 - x + 1\) কে পূর্ণ বর্গ আকারে প্রকাশ করি: \[ x^2 - x + 1 = x^2 - x + \frac{1}{4} + 1 - \frac{1}{4} = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} \] তাহলে, ইন্টিগ্রালটি হবে: \[ \int \frac{dx}{\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}} \] এখন, \(u = x - \frac{1}{2}\) ধরে, \(du = dx\) হবে। সুতরাং, ইন্টিগ্রালটি দাঁড়াবে: \[ \int \frac{du}{u^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \] আমরা জানি, \(\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C\) এখানে, \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\). সুতরাং, \[ \int \frac{du}{u^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \tan^{-1}\left(\frac{u}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2u}{\sqrt{3}}\right) + C \] এখন, \(u = x - \frac{1}{2}\) বসিয়ে পাই: \[ \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2\left(x - \frac{1}{2}\right)}{\sqrt{3}}\right) + C = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) + C \] সুতরাং, \[ \int \frac{dx}{x^2 - x + 1} = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) + C \] সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: \(\frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right)\) 🎉