int_0^1((1-x)/(1+x)) dx এর মান কত?

প্রশ্ন: \( \int_{0}^{1} \frac{1-x}{1+x} dx \) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

আমরা প্রথমে \( \frac{1-x}{1+x} \) কে সরল করি:

\[ \frac{1-x}{1+x} = \frac{-(x+1) + 2}{1+x} = -1 + \frac{2}{1+x} \]

এখন, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\[ \int_{0}^{1} \frac{1-x}{1+x} dx = \int_{0}^{1} \left( -1 + \frac{2}{1+x} \right) dx \]

\[ = \int_{0}^{1} -1 dx + \int_{0}^{1} \frac{2}{1+x} dx \]

\[ = - \int_{0}^{1} dx + 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx \]

এখন আমরা ইন্টিগ্রেশন করি:

\[ = -[x]_{0}^{1} + 2 [\ln(1+x)]_{0}^{1} \]

\[ = -(1-0) + 2(\ln(1+1) - \ln(1+0)) \]

\[ = -1 + 2(\ln(2) - \ln(1)) \]

যেহেতু \( \ln(1) = 0 \),

\[ = -1 + 2\ln(2) \]

আমরা জানি \( 2\ln(2) = \ln(2^2) = \ln(4) \), সুতরাং,

\[ = -1 + \ln(4) \]

\[ = \ln(4) - 1 \]

যেহেতু \( 1 = \ln(e) \),

\[ = \ln(4) - \ln(e) \]

\[ = \ln\left(\frac{4}{e}\right) \]

সুতরাং, \( \int_{0}^{1} \frac{1-x}{1+x} dx = \ln\left(\frac{4}{e}\right) \).

অতএব, উত্তর: \( \ln\left(\frac{4}{e}\right) \) 🥳