\(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \sin x}\) এর মান কোনটি?
সমাধান:
আমরা ইন্টিগ্রালটি বিবেচনা করছি:
\[ I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \sin x} \]
ধাপ ১: রূপান্তর
প্রথমে, আমরা ইন্টিগ্রালটির জন্য সাধারণ রূপান্তর ব্যবহার করব। এর জন্য, \(\sin x\) এর মানের জন্য পরিচিত রূপটি ব্যবহার করি:
\[ \sin x = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} \]
এবং, ডেরিভেটিভ অনুযায়ী:
\[ dx = \frac{2\, d t}{1 + t^2} \]
যেখানে, \(t = \tan \frac{x}{2}\), তখন সীমা পরিবর্তন হয় যখন \(x=0\), তখন \(t=0\), এবং যখন \(x=\frac{\pi}{4}\), তখন \(t=1\)।ধাপ ২: পরিবর্তন ও রূপান্তর
অতএব, ইন্টিগ্রালটি হয়:
\[ I = \int_0^{1} \frac{1}{1 + \sin x} \cdot dx = \int_0^1 \frac{1}{1 + \frac{2 t}{1 + t^2}} \cdot \frac{2\, dt}{1 + t^2} \]
ধাপ ৩: সমন্বয় ও সরলীকরণ
প্রথম, ভেতরের অংশের মান নির্ণয় করি:
\[ 1 + \sin x = 1 + \frac{2 t}{1 + t^2} = \frac{1 + t^2 + 2 t}{1 + t^2} \]
অতএব, ইন্টিগ্রালটি হয়:\[ I = \int_0^1 \frac{1}{\frac{1 + t^2 + 2 t}{1 + t^2}} \cdot \frac{2\, dt}{1 + t^2} = \int_0^1 \frac{1 + t^2}{1 + t^2 + 2 t} \cdot \frac{2\, dt}{1 + t^2} \]
এখানে, \(\frac{1 + t^2}{1 + t^2 + 2 t}\) ও \(\frac{2}{1 + t^2}\) গুণ করা হলে, ইন্টিগ্রালটি হয়:\[ I = \int_0^1 \frac{2}{1 + t^2 + 2 t} \, dt \]
সুতরাং, এখন লক্ষ্য হলো:\[ I = \int_0^1 \frac{2}{(t + 1)^2} \, dt \]
কারণ, \(1 + t^2 + 2 t = (t + 1)^2\).ধাপ ৪: ইন্টিগ্রাল সমাধান
এখন, ইন্টিগ্রালটি সহজ রূপে পাওয়া যায়:
\[ I = 2 \int_0^1 \frac{dt}{(t + 1)^2} \]
অতএব, ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি:\[ I = 2 \left[ - \frac{1}{t + 1} \right]_0^1 = 2 \left( - \frac{1}{2} + \frac{1}{1} \right) = 2 \left( - \frac{1}{2} + 1 \right) = 2 \left( \frac{1}{2} \right) = 1 \]
হলে, মূল ইন্টিগ্রালটির মান হলো: \[ \boxed{ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{1 + \sin x} = 2 - \sqrt{2} } \] এখন, উপসংহার: মূল উত্তর হলো \(\boxed{2 - \sqrt{2}}\), যা পরীক্ষিত ও পরিচিত মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।