যদি f(x)= -f(-x) হয়, তবে  int_-a^af(x)dx =কত?

যদি \(f(x) = -f(-x)\) হয়, তবে \(f(x)\) একটি বিজোড় অপেক্ষক।

আমরা জানি, কোনো বিজোড় অপেক্ষকের জন্য, \(\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\)। 🥳

ব্যাখ্যা:

\(\int_{-a}^{a} f(x) dx\) কে লেখা যায়:

\(\int_{-a}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx\)

প্রথম ইন্টিগ্রালে \(x = -u\) ধরলে, \(dx = -du\) এবং যখন \(x = -a\), \(u = a\) এবং যখন \(x = 0\), \(u = 0\)।

সুতরাং, \(\int_{-a}^{0} f(x) dx = \int_{a}^{0} f(-u) (-du) = -\int_{0}^{a} f(-u) du\)

যেহেতু \(f(x)\) একটি বিজোড় অপেক্ষক, তাই \(f(-u) = -f(u)\)।

সুতরাং, \(-\int_{0}^{a} f(-u) du = -\int_{0}^{a} -f(u) du = \int_{0}^{a} f(u) du\)

অতএব, \(\int_{-a}^{a} f(x) dx = -\int_{0}^{a} f(x) dx + \int_{0}^{a} f(x) dx = 0\) 🤗

সুতরাং, \(\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\) ।