Another Explanation (5): সমাধান:
প্রশ্নটি হলো:
\( \int \frac{dx}{\sqrt{2 - 5x^2}} \)
ধাপে ধাপে সমাধান:
ধাপ ১: সাধারণ রূপে রূপান্তর
আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, এটি একটি ইন্টিগ্রাল যার ডিনমিনেটরটি \(\sqrt{a^2 - u^2}\)-র মত।
প্রথমে, মানে আনতে হবে: \( a^2 = 2 \) এবং \( b^2 = 5 \)।
ধাপ ২: পরিবর্তন
আমরা নিম্নলিখিত রূপে পরিবর্তন করতে পারি:
\[
x = \frac{\sin \theta}{\sqrt{\frac{b^2}{a^2}}} = \frac{\sin \theta}{\sqrt{\frac{5}{2}}}
\]
অর্থাৎ,
\[
x = \frac{\sin \theta}{\sqrt{\frac{5}{2}}}
\]
এবং,
\[
dx = \frac{\cos \theta}{\sqrt{\frac{5}{2}}} d\theta
\]
ধাপ ৩: ইন্টিগ্রাল পরিবর্তন
\begin{align*}
\int \frac{dx}{\sqrt{2 - 5x^2}} &= \int \frac{\frac{\cos \theta}{\sqrt{\frac{5}{2}}} d\theta}{\sqrt{2 - 5 \left(\frac{\sin \theta}{\sqrt{\frac{5}{2}}}\right)^2}} \\
&= \int \frac{\frac{\cos \theta}{\sqrt{\frac{5}{2}}}}{\sqrt{2 - 5 \cdot \frac{\sin^2 \theta}{\frac{5}{2}}}} d\theta
\end{align*}
উপরের সমীকরণটি সহজ করা যাক:
\[
\sqrt{2 - 5 \cdot \frac{\sin^2 \theta}{\frac{5}{2}}} = \sqrt{2 - 2 \sin^2 \theta} = \sqrt{2(1 - \sin^2 \theta)} = \sqrt{2 \cos^2 \theta} = \sqrt{2} |\cos \theta|
\]
আমরা ধরি \(\theta\) এর জন্য \(\cos \theta \geq 0\), কারণ সাধারণত ইন্টিগ্রেশনের জন্য \(\theta\) এর মান পর্যবেক্ষণ করা হয়। তাহলে:
\[
\int \frac{\frac{\cos \theta}{\sqrt{\frac{5}{2}}}}{\sqrt{2} \cos \theta} d\theta = \int \frac{1}{\sqrt{\frac{5}{2}} \sqrt{2}} d\theta
\]
সাধারণীকরণ:
\[
\sqrt{\frac{5}{2}} \sqrt{2} = \sqrt{\frac{5}{2} \times 2} = \sqrt{5}
\]
অতএব,
\[
\int \frac{dx}{\sqrt{2 - 5x^2}} = \int \frac{1}{\sqrt{5}} d\theta = \frac{1}{\sqrt{5}} \theta + C
\]
ধাপ ৪: \(\theta\) এর মান প্রকাশ
\[
x = \frac{\sin \theta}{\sqrt{\frac{5}{2}}} \Rightarrow \sin \theta = x \sqrt{\frac{5}{2}}
\]
অর্থাৎ,
\[
\theta = \sin^{-1} \left( x \sqrt{\frac{5}{2}} \right)
\]
ধাপ ৫: সমাধান উপস্থাপন
সুতরাং,
\[
\boxed{
\int \frac{dx}{\sqrt{2 - 5x^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \sin^{-1} \left( x \sqrt{\frac{5}{2}} \right) + C
}
\]
অথবা,
\[
\boxed{
\int \frac{dx}{\sqrt{2 - 5x^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \sin^{-1} \left( \sqrt{\frac{5}{2}} x \right) + C
}
\]
যা আপনার উল্লিখিত উত্তরটির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।
