int_(e^2)^(e^3)(lnx)^3/xdx=?

ধরি, \(I = \int_{e^2}^{e^3} \frac{(\ln x)^3}{x} dx\).

এখন, আমরা প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করি। ধরি, \(u = \ln x\)।

তাহলে, \(\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}\) বা, \(du = \frac{dx}{x}\).

যখন \(x = e^2\), তখন \(u = \ln(e^2) = 2\).

যখন \(x = e^3\), তখন \(u = \ln(e^3) = 3\).

সুতরাং, আমাদের সমাকলটি হবে:

\(I = \int_{2}^{3} u^3 du\).

এখন, আমরা \(u^3\) এর সমাকল নির্ণয় করি:

\(\int u^3 du = \frac{u^4}{4} + C\).

সুতরাং, নির্দিষ্ট সমাকলটি হবে:

\(I = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{2}^{3} = \frac{3^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{16}{4} = \frac{81 - 16}{4} = \frac{65}{4}\).

অতএব, \(\int_{e^2}^{e^3} \frac{(\ln x)^3}{x} dx = \frac{65}{4}\). 🎉