int5^(ax)dx=?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int 5^{ax} \, dx = ?\) উত্তর: \(\frac{5^{ax}}{a \ln 5} + C\) সমাধান: ধরা যাক, \[ I = \int 5^{ax} \, dx \] প্রথমে, আমরা জানি যে, \[ 5^{ax} = e^{ax \ln 5} \] অতএব, \[ I = \int e^{ax \ln 5} \, dx \] এখন, \(u = ax \ln 5\), তাহলে, \[ du = a \ln 5 \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{a \ln 5} \] অতএব, \[ I = \int e^{u} \cdot \frac{du}{a \ln 5} = \frac{1}{a \ln 5} \int e^{u} \, du \] এখানে, \[ \int e^{u} \, du = e^{u} + C \] সুতরাং, \[ I = \frac{1}{a \ln 5} e^{u} + C \] মূল \(u\)-এর মান ফিরে দিলে, \[ I = \frac{1}{a \ln 5} e^{ax \ln 5} + C \] আর, আবার, \[ e^{ax \ln 5} = 5^{ax} \] অতএব, \[ I = \frac{5^{ax}}{a \ln 5} + C \] সুতরাং, \[ \boxed{\int 5^{ax} \, dx = \frac{5^{ax}}{a \ln 5} + C} \]