দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল 18 এবং ভেক্টর গুণফলের মান 6√3 । ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

ধরা যাক দুটি ভেক্টর হলো \(\vec{A}\) এবং \(\vec{B}\)।

তাহলে তাদের স্কেলার গুণফল হলো:

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta \] এবং ভেক্টর গুণফলের মান হলো:

\[ |\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta \] প্রদত্ত মান অনুসারে: \[ \vec{A} \cdot \vec{B} = 18 \] \[ |\vec{A} \times \vec{B}| = 6 \sqrt{3} \] এবং আমরা জানি: \[ |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta = 18 \quad \text{(1)} \] \[ |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta = 6 \sqrt{3} \quad \text{(2)} \] দুটি সমীকরণের অনুপাত নিলে: \[ \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{6 \sqrt{3}}{18} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] অর্থাৎ: \[ \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \] অতএব: \[ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 30^\circ \] **অতএব, দুই ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ হলো \(\boxed{30^\circ}\)।**