(x^4-1/x^3)^8 এর বিস্তৃতিতে x¹¹ এর সহগ কত?

সমাধান:

( \(x^4 - \frac{1}{x^3}\) )8 এর বিস্তৃতিতে \(x^{11}\) এর সহগ নির্ণয় করা।

প্রথমে, বাইনারি বিস্তৃতি (binomial expansion) অনুসারে:
\((a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k\)


এখানে, 
\(a = x^4\),
\(b = \frac{1}{x^3}\),
\(n = 8\).

তাই,
\((x^4 - \frac{1}{x^3})^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (x^4)^{8 - k} \left(-\frac{1}{x^3}\right)^k\).


এখন, প্রতিটি টার্মের আকার:
\binom{8}{k} x^{4(8 - k)} \cdot (-1)^k \cdot x^{-3k}


এখানে, একত্রিত করে:
\binom{8}{k} \cdot (-1)^k \cdot x^{32 - 4k - 3k} = \binom{8}{k} \cdot (-1)^k \cdot x^{32 - 7k}


আমাদের প্রয়োজন যেখানে:
অর্থাৎ, \(x^{11}\) এর জন্য,
32 - 7k = 11


সমাধান:
7k = 32 - 11 = 21
k = \frac{21}{7} = 3


অতএব, \(k=3\) হলে টার্মটি \(x^{11}\) এর সমান হবে।

এখন, সহগ নির্ণয়:
\binom{8}{3} \cdot (-1)^3


গণনা:
\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56

এবং,
(-1)^3 = -1


অতএব,
সহগ = 56 \times (-1) = -56


**উত্তর:** \(-56\)

চূড়ান্ত উত্তর: \(\boxed{-56}\)