যদি (1 +x)(a – bx)¹² এর বিস্তৃতিতে x⁸ এর সহগ শূন্য হয় তবে a/b অনুপাতের মান বের কর।

Another Explanation (5):

প্রদত্ত,

\( (1 + x)(a - bx)^{12} \)

এর বিস্তৃতিতে \(x^8\) এর সহগ শূন্য হলে, আমাদের সেই সহগ নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, বিস্তৃতি লিখি:

\[ (1 + x)(a - bx)^{12} = (a - bx)^{12} + x(a - bx)^{12} \]

এখন, \((a - bx)^{12}\) এর \(x^8\) এর সহগ নির্ণয় করি।

\( (a - bx)^{12} \) এর বিস্তৃতি হলো:

\[ (a - bx)^{12} = \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k} a^{12 - k} (-b x)^k = \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k} a^{12 - k} (-b)^k x^{k} \]

এখানে, \(x^8\) এর সহগ হবে যখন \(k = 8\):

\[ \text{coefficient of } x^8 = \binom{12}{8} a^{4} (-b)^{8} \]

অতএব, \((a - bx)^{12}\) এর \(x^8\) এর সহগ:

\[ C_1 = \binom{12}{8} a^{4} b^{8} \]

এখন, দ্বিতীয় অংশ, \(x(a - bx)^{12}\):

\[ x \times (a - bx)^{12} = x \times \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k} a^{12 - k} (-b)^k x^{k} = \sum_{k=0}^{12} \binom{12}{k} a^{12 - k} (-b)^k x^{k+1} \]

এখানে, \(x^8\) এর জন্য, \(k + 1 = 8 \Rightarrow k=7\):

\[ \text{coefficient of } x^8 = \binom{12}{7} a^{5} (-b)^{7} \]

অতএব, দ্বিতীয় অংশের \(x^8\) এর সহগ:

\[ C_2 = \binom{12}{7} a^{5} (-b)^{7} \]

একত্রে, বিস্তৃতিতে \(x^8\) এর মোট সহগ:

\[ S = C_1 + C_2 = \binom{12}{8} a^{4} b^{8} + \binom{12}{7} a^{5} (-b)^{7} \]

প্রশ্ন অনুযায়ী, এই সহগ শূন্য, অর্থাৎ:

\[ \binom{12}{8} a^{4} b^{8} + \binom{12}{7} a^{5} (-b)^{7} = 0 \]

নোট করুন, \(\binom{12}{8} = \binom{12}{4} = 495\)

\(\binom{12}{7} = 792\)

সুতরাং:

\[ 495 a^{4} b^{8} + 792 a^{5} (-b)^{7} = 0 \]

এখানে, \((-b)^{7} = -b^{7}\), তাই:

\[ 495 a^{4} b^{8} - 792 a^{5} b^{7} = 0 \]

আসুন, সমীকরণটি সাজাই:

\[ 495 a^{4} b^{8} = 792 a^{5} b^{7} \]

দুটি পক্ষ ভাগ করি \(a^{4} b^{7}\):

\[ 495 b = 792 a \]

অথবা:

\[ \frac{a}{b} = \frac{495}{792} \]

উভয় সংখ্যাকে সরল করি:

\[ \frac{495}{792} = \frac{495 \div 33}{792 \div 33} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8} \]

অতএব, \(\frac{a}{b} = \frac{5}{8}\)