\( -1 < x < 1 \) এর জন্য \( \log_e \left( \frac{1 - x}{1 + x} \right) \) এর বিস্তৃতিতে x³ এর সহগ k হলে, k এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( -1 < x < 1 \) এর জন্য \( \log_e \left( \frac{1 - x}{1 + x} \right) \) এর বিস্তৃতিতে \( x^3 \) এর সহগ \( k \) হলে, \( k \) এর মান কত? সমাধান: প্রথমে, আমরা এই ফাংশনের জন্য টেইলর সিরিজ বা বিস্তৃতি নির্ণয় করব। আমরা জানি, \[ \log \left( \frac{1 - x}{1 + x} \right) = \log(1 - x) - \log(1 + x) \] এবং, যেহেতু \( |x| < 1 \), আমরা টেইলর সিরিজ ব্যবহার করতে পারি: \[ \log(1 + y) = y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} - \frac{y^4}{4} + \cdots \] তাই, \[ \log(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \cdots \] \[ \log(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \] এখন, \[ \log \left( \frac{1 - x}{1 + x} \right) = \left(-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots \right) - \left( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \right) \] সাধারণ করে, \[ = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + \cdots \] সর্বপ্রথম সমান উপাদানগুলো বিয়োগ করলে: \[ = (-x - x) + \left( - \frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{2} \right) + \left( - \frac{x^3}{3} - \frac{x^3}{3} \right) + \cdots \] সরলীকরণ করে, \[ = -2x + 0 - \frac{2x^3}{3} + \cdots \] অর্থাৎ, \[ \log \left( \frac{1 - x}{1 + x} \right) = -2x - \frac{2x^3}{3} + \text{অন্য ছোটো অংক} \] তাহলে, বিস্তৃতির \( x^3 \) এর সহগ (coefficient) হলো: \[ k = - \frac{2}{3} \] উত্তর: \(\boxed{-\frac{2}{3}}\)