2R ও 4R ব্যাসার্ধের দুটি কৃত্রিম গ্রহের উপগ্রহের পর্যায়কালের অনুপাত-

Another Explanation (5):

ধরি, দুইটি কৃত্রিম গ্রহের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে \( R_1 = 2R \) ও \( R_2 = 4R \)।

প্রতিটি গ্রহের উপগ্রহের পর্যায়কাল (orbital period) নিচের সূত্র অনুযায়ী নির্ণয় করা যায়:

\( T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} \)

এখানে,

• \( T \) = উপগ্রহের পর্যায়কাল
• \( r \) = উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ বা দূরত্ব
• \( G \) = গ্যাসের মহাকর্ষ শক্তি ধ্রুবক
• \( M \) = গ্রহের ভর

ধরা হলো, উপগ্রহের কক্ষপথের দূরত্ব একই রকম বা অনুরূপ, অর্থাৎ \( r_1 \) ও \( r_2 \) যথাক্রমে প্রথম ও দ্বিতীয় গ্রহের জন্য।

তাহলে, প্রথম গ্রহের উপগ্রহের পর্যায়কাল:

\( T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{r_1^3}{GM_1}} \)

দ্বিতীয় গ্রহের উপগ্রহের পর্যায়কাল:

\( T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{r_2^3}{GM_2}} \)

যেহেতু, গ্রহের ভর \( M \) এর উপর নির্ভর করে, এবং ধরা হলো কক্ষপথের দূরত্ব একই, তবে ভর বিভিন্ন।

অতএব, পর্যায়কাল অনুপাত:

\[ \frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{r_1^3 / GM_1}{r_2^3 / GM_2}} = \sqrt{\frac{r_1^3}{r_2^3} \times \frac{M_2}{M_1}} \]

ধরা হলো, গ্রহের ভর অনুপাত:

\[ \frac{M_2}{M_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^3 \]

যেহেতু, \( R_1 = 2R \) ও \( R_2 = 4R \), তাহলে:

\[ \frac{M_2}{M_1} = \left(\frac{4R}{2R}\right)^3 = 2^3 = 8 \]

এবং যদি কক্ষপথের দূরত্বও একই হয়, তবে:

\[ \frac{r_1}{r_2} = 1 \]

তাহলে, পর্যায়কাল অনুপাত হবে:

\[ \frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{1^3}{1^3} \times 8} = \sqrt{8} = \sqrt{8} \]

অর্থাৎ, উপসংহার:

উপগ্রহের পর্যায়কালের অনুপাত: \( \boxed{1 : \sqrt{8}} \)