একটি তেজষ্ক্রিয় মৌলের তেজষ্ক্রিয়তা পাঁচ দিনে 96.875% কমেছে। মৌলটির অর্ধায়ু কত ঘন্টা?

Explanation: Hints: \(N = N_0 e^{-\lambda t}\) Solve: অবশিষ্ট অংশ = \(100 - 96.875 = 3.125\) \(N = N_0 e^{-\lambda t} \implies \ln\left(\frac{N}{N_0}\right) = -\lambda t \implies -\lambda t = \ln\left(\frac{3.125}{100}\right)\) \(\implies -\lambda \times 5 = -3.4657 \implies \lambda = \frac{3.4657}{5} \implies \lambda = 0.693\) \(\therefore T_{\frac{1}{2}} = \frac{0.693}{\lambda} = \frac{0.693}{0.693} = 1 \, দিন = 24 \, ঘন্টা\) Ans. (C) ব্যাখ্যা: কোনো তেজস্ক্রিয় পদার্থের প্রাথমিক বা উপস্থিত অক্ষত পরমাণুগুলোর অর্ধেকে পরিণত হতে যে সময় লাগে তাকে অর্ধায়ু বা অর্ধপায়ু বলে। \(\therefore T_{\frac{1}{2}} = \frac{0.693}{\lambda}\)

Another Explanation (5): ```html

একটি তেজস্ক্রিয় মৌলের তেজস্ক্রিয়তা \( 5 \) দিনে \( 96.875\% \) কমে যাওয়া মানে \( 100\% - 96.875\% = 3.125\% \) অবশিষ্ট আছে। 🤔 ধরি, মৌলটির প্রাথমিক পরিমাণ \( N_0 \)। \( t \) সময় পর অবশিষ্ট পরিমাণ \( N \)। তাহলে, \[ N = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}} \] যেখানে, \( T_{1/2} \) হলো অর্ধায়ু। ⏳ এখানে, \( N = 3.125\% \text{ of } N_0 = 0.03125 N_0 \) এবং \( t = 5 \text{ days} = 5 \times 24 = 120 \text{ hours} \)। 🗓️ তাহলে, \[ 0.03125 N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{120}{T_{1/2}}} \] \[ 0.03125 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{120}{T_{1/2}}} \] আমরা জানি, \( 0.03125 = \frac{1}{32} = \left(\frac{1}{2}\right)^5 \) সুতরাং, \[ \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{120}{T_{1/2}}} \] ঘাত তুলনা করে পাই, \[ 5 = \frac{120}{T_{1/2}} \] \[ T_{1/2} = \frac{120}{5} = 24 \text{ hours} \] অতএব, মৌলটির অর্ধায়ু \( 24 \) ঘন্টা। 🎉

```