\( 4x^2 - y^2 = 20 \) অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন:

\( 4x^2 - y^2 = 20 \) অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা কত?

উত্তর:

উৎকেন্দ্রিকতা (Eccentricity) \( e \) হিসাব করতে হলে প্রথমে আমাদের সাধারণ আকারের সাথে মিলিয়ে নিতে হবে।

সমাধান:

প্রথমে, সমীকরণটি হলো:

\[ 4x^2 - y^2 = 20 \] এটি একটি মেলিরো (hyperbola) এর সমীকরণ। সাধারণ রূপে, একটি হাইপারবোলার সমীকরণ হলো:

\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

আমাদের সমীকরণকে এই রূপে রূপান্তর করি:

\[ \frac{4x^2}{20} - \frac{y^2}{20} = 1 \] যেখানে, \[ \frac{4x^2}{20} = \frac{x^2}{5} \] অর্থাৎ, \[ \frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{20} = 1 \]

এখন, এটি হলো:

\[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] যেখানে, \[ a^2 = 5,\quad b^2 = 20 \] অর্থাৎ, \[ a = \sqrt{5}, \quad b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]

অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \( e \) এর জন্য প্রযোজ্য সূত্র হলো:

\[ e = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{a} \]

এই ক্ষেত্রে:

\[ e = \frac{\sqrt{5 + 20}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \]

উত্তর:

অধিবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা হলো: \( \sqrt{5} \)