একটি পরাবৃত্তের শীর্ষবিন্দু এবং উপকেন্দ্র দুইটির স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (0, 0) ও (0,6)

পরাবৃত্তটির সমীকরণ নিচের কোনটি?

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে, পরাবৃত্তির শীর্ষবিন্দু (Vertex) এবং উপকেন্দ্র (Focus) এর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (0, 0) ও (0, 6)।

সাধারণত, উপবৃত্তের ফর্মুলা:

• উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \((h, k + c)\)
• শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক: \((h, k + a)\)

যেহেতু উপকেন্দ্র ও শীর্ষবিন্দু একই সরলরেখায়, এবং উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (0,6), শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,0), তাহলে:

• শীর্ষবিন্দু: \((h, k + a) = (0, 0)\)
• উপকেন্দ্র: \((h, k + c) = (0, 6)\)

অর্থাৎ, h = 0। এবং,

• \(k + a = 0\)
• \(k + c = 6\)

তাহলে, \(a = -k\) ও \(c = 6 - k\)।

উপবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ:

\[ (x - h)^2 = 4a(y - k) \] এখানে, \(h=0\)। তাই:

\[ x^2 = 4a(y - k) \] আমাদের লক্ষ্য, এই সমীকরণে \(a\) ও \(k\) নির্ণয় করা।

অতএব, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক থেকে, উপকেন্দ্রের y-অক্ষের দূরত্ব \(c = 6 - k\)।

উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \((0,6)\)

অর্থাৎ, উপকেন্দ্রের y-প্রতিবিম্ব: \(k + c = 6\)

এবং, শীর্ষবিন্দু: \((0,0)\) থেকে:

\[ k + a = 0 \Rightarrow a = -k \]

উপবৃত্তের ধ্রুবক \(4a\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

উপকেন্দ্রের y-অক্ষের দূরত্ব c থেকে:

\[ c = 6 - k \]

এবং, উপকেন্দ্রের y-অক্ষের দূরত্ব থেকে, ধ্রুবক \(a\) সম্পর্কিত:

\[ c = 2a \] (কারণ, উপকেন্দ্রের y-অক্ষের দূরত্ব c, উপবৃত্তের ধ্রুবক \(a\) এর দ্বিগুণ।)

অর্থাৎ:

\[ 2a = 6 - k \] এবং, আমি জানি \(a = -k\), তাহলে:

\[ 2(-k) = 6 - k \] \[ -2k = 6 - k \] \[ -2k + k = 6 \] \[ - k = 6 \] \[ k = -6 \] অতএব, \(a = -k = 6\), এবং \(c = 6 - (-6) = 12\)। এখন, সমীকরণে স্থানাঙ্ক স্থাপন করলে: \[ x^2 = 4a y \] কারণ, \(k = -6\), এবং শীর্ষবিন্দু (0,0), তাই: \[ x^2 = 4 \times 6 \times y = 24 y \] সুতরাং, পরাবৃত্তির সমীকরণ হলো: \[ \boxed{x^2 = 24 y} \] বা, সমানভাবে: \[ x^2 - 24 y = 0 \] ```