উপকেন্দ্র (2,0) এবং \( x+2=0 \) নিয়ামক বিশিষ্ট পরাবৃত্তের সমীকরণ কোনটি?
সমাধান:
প্রশ্নে বলা হয়েছে, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র \( (2,0) \) এবং নিয়ামক \( x + 2 = 0 \)।
নিয়ামক \( x + 2 = 0 \) মানে, পরাবৃত্তের কেন্দ্রের x-সাইডে সমান্তরাল রেখা যেখানে \( x = -2 \)।
উপকেন্দ্র \( (2,0) \) হলো পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র।
ধাপ ১: কেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয়
কেন্দ্রের অবস্থান হলো রেখা \( x = -2 \) এর উপর।
অর্থাৎ, কেন্দ্রের অবস্থান \( C(h,k) \), যেখানে \( h = -2 \)।
সুতরাং, কেন্দ্র হচ্ছে \( C(-2, k) \) এবং উপকেন্দ???র \( P(2,0) \)।
ধাপ ২: উপকেন্দ্রের সাথে কেন্দ্রের দূরত্ব নির্ণয়
উপকেন্দ্র ও কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব হলো:
\[ \text{Distance} = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - k)^2} = \sqrt{(4)^2 + (k)^2} = \sqrt{16 + k^2} \]ধাপ ৩: উপকেন্দ্রের সাথে কেন্দ্রের দূরত্বের সমান
পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র ও কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব সমান, অর্থাৎ:
\[ \sqrt{16 + k^2} = a \] যেখানে, \( a \) হলো পরাবৃত্তের ধনু বা অর্ধ-দৈর্ঘ্য।ধাপ ৪: ধনু নির্ণয়
আমরা জানি, উপকেন্দ্র \( P(2,0) \)। ধনু \( a \) এর মান নির্ণয়ের জন্য, ত্রিভুজটি ব্যবহার করে দেখা যায়, ধনু হলো উপকেন্দ্রের কাছাকাছি একটি পয়েন্ট থেকে কেন্দ্রের দূরত্বের অর্ধেক।
তবে, এখানে সরাসরি সিদ্ধান্ত নেওয়া যায়, কারণ উপকেন্দ্রের অবস্থান \( (2,0) \) এবং কেন্দ্রের অবস্থান \( (-2, k) \)।
ধাপ ৫: প্যারামিটার নির্ণয় ও সমীকরণ তৈরি
প্রথমে, কেন্দ্রের \( y \)-সংখ্যা নির্ণয় করি।
পরাবৃত্তের ধনু \( a \) ও উপকেন্দ্রের দূরত্বের সমান মানে:
\[ a = \sqrt{16 + k^2} \]এছাড়া, পরাবৃত্তের সাধারণ সমীকরণ ধরা যায়:
\[ (y - k)^2 = 4a(x + 2) \] যেখানে, \( a \) হলো ধনু, যা নির্ণয় করতে হবে।ধাপ ৬: ধনু ও উপকেন্দ্রের সম্পর্ক
উপকেন্দ্র \( (2,0) \) থেকে ধনু ও কেন্দ্রের দূরত্বের জন্য, ধনুর মান নির্ণয় করি।
ধনু \( a \) এর জন্য, উপকেন্দ্র থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব সমান হওয়ায়, আমরা বলতে পারি:
\[ a = \frac{\text{উপকেন্দ্র থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব}}{2} = \frac{\sqrt{16 + k^2}}{2} \]কিন্তু, আমাদের লক্ষ্য হচ্ছে সরাসরি সমীকরণ খুঁজে বের করা।
ধাপ ৭: সমাধান
যেহেতু উপকেন্দ্র \( (2,0) \) এবং কেন্দ্র \( (-2, k) \), তাহলে ধনু \( a \) এর মান হলো:
\[ a = \frac{\text{উপকেন্দ্র থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব}}{2} = \frac{\sqrt{(2+2)^2 + (0 - k)^2}}{2} = \frac{\sqrt{16 + k^2}}{2} \]তাই, পরাবৃত্তের সমীকরণ হয়:
\[ (y - k)^2 = 4a(x + 2) \] এবং, \( a = \frac{\sqrt{16 + k^2}}{2} \)।অতএব, সমীকরণটি লিখতে পারি:
\[ (y - k)^2 = 4 \times \frac{\sqrt{16 + k^2}}{2} (x + 2) = 2 \sqrt{16 + k^2} (x + 2) \]এখন, কেন্দ্রের \( y \)-সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।
চলুন, \( k = 0 \) হিসেবে বিবেচনা করি (কারণ, উপকেন্দ্রের \( y \)-সংখ্যা নির্দিষ্ট নয়),
তাহলে, সমীকরণ হবে:
\[ (y)^2 = 2 \times 4 (x + 2) = 8 (x + 2) \] অর্থাৎ, \[ y^2 = 8x + 16 \] কিন্তু, আমাদের মূল লক্ষ্য হলো \( y^2 = 8x \)।উপসংহার:
প্রশ্নের উপকেন্দ্র ও নিয়ামক অনুযায়ী, পরাবৃত্তের সমীকরণ হলো: