Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন:
\[
\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx
\]
প্রথমে, সমাধানের জন্য substitution গ্রহণ করি। আমরা \( t = 1 - x^2 \) ধরি। তখন,
\[
dt = -2x \, dx \implies x \, dx = -\frac{dt}{2}
\]
নোট করুন, যখন \( x = 0 \), তখন \( t = 1 - 0^2 = 1 \)।
যখন \( x = 1 \), তখন \( t = 1 - 1^2 = 0 \)।
অতএব, ইন্টিগ্রালটি রূপান্তরিত হবে:
\[
\int_{x=0}^{x=1} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \int_{t=1}^{t=0} \frac{-\frac{dt}{2}}{\sqrt{t}}
\]
এখানে, \(\sqrt{t} = t^{1/2}\), সুতরাং,
\[
= -\frac{1}{2} \int_{1}^{0} t^{-1/2} \, dt
\]
ইন্টিগ্রালটি উল্টানো হলে:
\[
= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{-1/2} \, dt
\]
এখন, ইন্টিগ্রালটি সমাধান করি:
\[
\int t^{-1/2} \, dt = \int t^{-\frac{1}{2}} \, dt = 2 t^{1/2} + C
\]
অতএব,
\[
\frac{1}{2} \times [2 t^{1/2}]_{0}^{1} = [t^{1/2}]_{0}^{1} = \sqrt{1} - \sqrt{0} = 1 - 0 = 1
\]
সুতরাং, মূল ইন্টিগ্রালটির মান হল:
উত্তর: 1
