(1+x)/(1-x)^3 এর বিস্তৃতিতে x¹⁰ এর সহগ কত?

দেওয়া আছে, \(\frac{1+x}{(1-x)^3}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{10}\) এর সহগ নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, \((1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + ... + \frac{n(n+1)...(n+r-1)}{r!}x^r + ...\)

সুতরাং, \((1-x)^{-3} = 1 + 3x + \frac{3 \cdot 4}{2!}x^2 + \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{3!}x^3 + ... + \frac{3 \cdot 4 \cdot ... \cdot (3+r-1)}{r!}x^r + ...\)

\(= 1 + 3x + \frac{3 \cdot 4}{2!}x^2 + \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{3!}x^3 + ... + \frac{(r+1)(r+2)}{2}x^r + ...\)

\(\frac{1+x}{(1-x)^3} = (1+x)(1-x)^{-3}\)

\(= (1+x) \left[ 1 + 3x + \frac{3 \cdot 4}{2!}x^2 + ... + \frac{(r+1)(r+2)}{2}x^r + ... \right]\)

\(x^{10}\) এর সহগ হবে \((1-x)^{-3}\) এর \(x^{10}\) এর সহগ + \((1-x)^{-3}\) এর \(x^{9}\) এর সহগ।

\((1-x)^{-3}\) এর \(x^{10}\) এর সহগ \(= \frac{(10+1)(10+2)}{2} = \frac{11 \cdot 12}{2} = 11 \cdot 6 = 66\)

\((1-x)^{-3}\) এর \(x^{9}\) এর সহগ \(= \frac{(9+1)(9+2)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 5 \cdot 11 = 55\)

অতএব, \(\frac{1+x}{(1-x)^3}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{10}\) এর সহগ \( = 66 + 55 = 121\).

সুতরাং, উত্তর: 121 🎉🎉