Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের প্রদান করা হয়েছে:
\[
\omega^n + \omega^{n+1} + \omega^{n+2}
\]
এখানে, \(\omega\) একটি মূলতঃ \( \omega^3 = 1 \) এর সমাধান, অর্থাৎ, \(\omega\) হল ত্রিগুণ মূল (cube root of unity), যার মূল বৈশিষ্ট্য:
\[
\omega^3 = 1
\]
\[
1 + \omega + \omega^2 = 0
\]
\[
\omega^2 = -1 - \omega
\]
এখন, প্রথমে দেখি:
\[
\omega^{n+1} = \omega^n \cdot \omega
\]
\[
\omega^{n+2} = \omega^n \cdot \omega^2
\]
তাহলে,
\[
\omega^n + \omega^{n+1} + \omega^{n+2} = \omega^n + \omega^n \cdot \omega + \omega^n \cdot \omega^2 = \omega^n (1 + \omega + \omega^2)
\]
আমাদের জানা আছে:
\[
1 + \omega + \omega^2 = 0
\]
অতএব,
\[
\omega^n (1 + \omega + \omega^2) = \omega^n \times 0 = 0
\]
এই জন্য, যেকোন পূর্ণসংখ্যা \( n \) এর জন্য,
\[
\boxed{0}
\]
**উত্তর: 0**
