( - 1 + √3i )⁴ + ( - 1 - √3i )⁴ = ?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া: \[ (-1 + \sqrt{3}i)^4 + (-1 - \sqrt{3}i)^4 \] প্রথমে, প্রতিটি সমাহারকে রূপান্তর করি। দুটি কম্প্লেক্স সংখ্যার জন্য, আমরা তাদের প্ল্যাঙ্ক ফর্মে রূপান্তর করতে পারি। নোট করি: \[ z_1 = -1 + \sqrt{3}i \] \[ z_2 = -1 - \sqrt{3}i \] প্রথমে, \(z_1\) এর মান বের করি: \[ |z_1| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \] \[ \theta_1 = \arg(z_1) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right) \] যেহেতু রিয়াল অংশ -1 এবং ইমেজিনারি অংশ \(\sqrt{3}\), অর্থাৎ দ্বিতীয় কোয়ার্টারে। \[ \theta_1 = \pi - \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \] অর্থাৎ, \[ z_1 = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) \] সদৃশভাবে, \(z_2\) এর জন্য: \[ |z_2| = 2 \] \[ \theta_2 = -\frac{2\pi}{3} \] অতএব, \[ z_2 = 2 \left( \cos \left(- \frac{2\pi}{3}\right) + i \sin \left(- \frac{2\pi}{3}\right) \right) \] এখন, \(z_1^4\) এবং \(z_2^4\) এর মান বের করি: \[ z_1^4 = \left[ 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) \right]^4 = 2^4 \left( \cos \left(4 \times \frac{2\pi}{3}\right) + i \sin \left(4 \times \frac{2\pi}{3}\right) \right) \] \[ = 16 \left( \cos \frac{8\pi}{3} + i \sin \frac{8\pi}{3} \right) \] Similarly, \[ z_2^4 = 16 \left( \cos \left(4 \times \left(- \frac{2\pi}{3}\right)\right) + i \sin \left(4 \times \left(- \frac{2\pi}{3}\right)\right) \right) = 16 \left( \cos \left(- \frac{8\pi}{3}\right) + i \sin \left(- \frac{8\pi}{3}\right) \right) \] Recall: \[ \cos \left( \theta \right) = \cos \left( - \theta \right) \] \[ \sin \left( \theta \right) = - \sin \left( - \theta \right) \] So, \[ z_1^4 + z_2^4 = 16 \left( \cos \frac{8\pi}{3} + i \sin \frac{8\pi}{3} \right) + 16 \left( \cos \frac{8\pi}{3} - i \sin \frac{8\pi}{3} \right) \] Adding, \[ z_1^4 + z_2^4 = 16 \cos \frac{8\pi}{3} + 16 \cos \frac{8\pi}{3} + i \left( 16 \sin \frac{8\pi}{3} - 16 \sin \frac{8\pi}{3} \right) \] \[ = 32 \cos \frac{8\pi}{3} + 0 \] Now, simplify \(\cos \frac{8\pi}{3}\): \[ \frac{8\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3} \] Using periodicity of cosine: \[ \cos \left( 2\pi + \frac{2\pi}{3} \right) = \cos \frac{2\pi}{3} \] And, \[ \cos \frac{2\pi}{3} = - \frac{1}{2} \] Therefore, \[ z_1^4 + z_2^4 = 32 \times \left( - \frac{1}{2} \right) = -16 \] **উত্তর: \(\boxed{-16}\)**