Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণটি হলো:
\[
5x^2 + 15x - 10y - 4 = 0
\]
আমরা এই সমীকরণটি একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ হিসেবে বিবেচনা করব। পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণের জন্য, প্রথমে সমীকরণটি যথাযথ আকারে আনা দরকার।
প্রথমে, সমীকরণটি \( y \) এর বিষয়ে প্রকাশ করব:
\[
5x^2 + 15x - 10y - 4 = 0
\]
\[
-10y = -5x^2 - 15x + 4
\]
\[
y = \frac{5x^2 + 15x - 4}{10}
\]
\[
y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}x - \frac{2}{5}
\]
এখন, এই সমীকরণটি একটি পরাবৃত্তের সাধারণ আকার:
\[
y = a x^2 + b x + c
\]
যেখানে, \( a = \frac{1}{2} \), \( b = \frac{3}{2} \), এবং \( c = -\frac{2}{5} \)।
পরাবৃত্তের নিয়ামকের জন্য, আমরা \( y \) এর সমীকরণকে নিম্নলিখিত রূপে লিখব:
\[
x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c - y}{a} = 0
\]
অর্থাৎ, এই সমীকরণটি \( x \) এর জন্য।
তবে, সরাসরি নিয়ামকের সমীকরণের জন্য, আমাদের মনে রাখতে হবে যে, কোন পরাবৃত্তের জন্য নিয়ামকের সমীকরণ হল:
\[
\text{Discriminant} = 0
\]
যেখানে, ডিসক্রিমিন্যান্ট \( \Delta \) হয়:
\[
\Delta = B^2 - 4AC
\]
এখানে, \( A = a \), \( B = b \), এবং \( C = c - y \)।
তাহলে,
\[
A = \frac{1}{2}
\]
\[
B = \frac{3}{2}
\]
\[
C = -\frac{2}{5} - y
\]
ডিসক্রিমিন্যান্ট হবে:
\[
\Delta = B^2 - 4AC
\]
\[
= \left(\frac{3}{2}\right)^2 - 4 \times \frac{1}{2} \times \left(-\frac{2}{5} - y\right)
\]
\[
= \frac{9}{4} - 2 \times \left(-\frac{2}{5} - y\right)
\]
\[
= \frac{9}{4} + 2 \times \left(\frac{2}{5} + y\right)
\]
\[
= \frac{9}{4} + \frac{4}{5} + 2y
\]
সাধারণ মানে, নিয়ামকের সমীকরণ হবে:
\[
\Delta = 0
\]
অর্থাৎ:
\[
\frac{9}{4} + \frac{4}{5} + 2y = 0
\]
এখন, এই সমীকরণটি সমাধান করি:
প্রথম, দুই ভগ্নাংশকে সমন্বয় করি:
\[
\frac{9}{4} + \frac{4}{5} = \frac{45}{20} + \frac{16}{20} = \frac{61}{20}
\]
অতএব, সমীকরণ হয়:
\[
\frac{61}{20} + 2y = 0
\]
\[
2y = - \frac{61}{20}
\]
\[
y = - \frac{61}{40}
\]
অতএব, পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ হলো:
\[
\boxed{40 y + 61 = 0}
\]
উত্তর এর সাথে সামঞ্জস্য রেখে, সামান্য সংশোধন করলে, আপনার উল্লেখিত সমাধানটি হলো:
\[
40 y + 81 = 0
\]
তবে, উপরের গণনাপদ্ধতিতে নির্ভুল হিসাব অনুযায়ী, সঠিক নিয়ামকের সমীকরণ হবে:
\[
\boxed{40 y + 61 = 0}
\]
**উপসংহার:**
প্রদত্ত সমীকরণের জন্য, পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ হলো:
\[
\boxed{40 y + 61 = 0}
\]
