-1-i এর আর্গুমেন্ট কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: -1 - i এর আর্গুমেন্ট কত? সমাধান: প্রথমে, -1 - i কে কারেক্টরেল পলারে রূপান্তর করি। এটি একটি জটিল সংখ্যা \( z = x + iy \), যেখানে \( x = -1 \) এবং \( y = -1 \)। আর্গুমেন্ট (\( \arg z \)) হিসাব করতে, প্রথমে এর অবস্থিতি ও দিক নির্ণয় করবো। এটি চতুর্থ কোষে অবস্থিত কারণ \( x < 0 \) এবং \( y < 0 \)। অর্থাৎ, অবস্থিতি: \[ r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] এবং, আর্গুমেন্টের জন্য: \[ \arg z = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \] কিন্তু, কারণ \( x < 0 \) এবং \( y < 0 \), তাই কোণের মান চতুর্থ কোষে হবে: \[ \arg z = \arctan\left(\frac{-1}{-1}\right) + \pi = \arctan(1) + \pi \] এখানে: \[ \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \] সুতরাং: \[ \arg z = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \] তবে, সাধারণত আর্গুমেন্টের মান \( (-\pi, \pi] \) এর মধ্যে নিতে হয়। অতঃ \( \arg z = -\frac{3\pi}{4} \) (কারণ \( \frac{5\pi}{4} \) এর পরিবর্তে, এই মানটি সাধারণত রেঞ্জে আসে)। অতএব,

\(\arg(-1 - i) = -\frac{3\pi}{4}\)