-1-i এর মূখ্য আর্গুমেন্ট কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: -1 - i এর মূখ্য আর্গুমেন্ট কত?

প্রথমে, জ্যামিতিকভাবে একটি জটিল সংখ্যা \(z = a + bi\) এর মূখ্য আর্গুমেন্ট \(\theta\) হলো সেই কোণের মান যা \(z\) থেকে অক্ষের সাথে তৈরি করে।

এখানে, \(z = -1 - i\), যেখানে \(a = -1\) এবং \(b = -1\)।

ধাপ ১: জটিল সংখ্যাটির পোলার রূপ নির্ণয়

পোলার রূপে একটি জটিল সংখ্যা হয়:

\[ z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) \] যেখানে, \[ r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \] এবং \(\theta = \arg(z)\)।

ধাপ ২: রেডিয়ান বা ডিগ্রি আর্গুমেন্ট নির্ণয়

প্রথমে, \(r\) এর মান নির্ণয় করি:

\[ r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

পরবর্তী, \(\theta\) নির্ণয় করতে হলে, আর্গমেন্টের সাধারণ সূত্র হলো:

\[ \theta = \arctan \left( \frac{b}{a} \right) \] যদিও, এই সূত্রটি শুধুমাত্র প্রথম চতুর্থাংশের জন্য সঠিক। কিন্তু এখানে, \(a < 0\) এবং \(b < 0\), অর্থাৎ, চতুর্থ চতুর্থাংশের বাইরে, সুতরাং, আমরা কোট রুল বা উপযুক্ত কোণ নির্ণয় করব। অতএব, \[ \theta = \arctan \left( \frac{-1}{-1} \right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \] কিন্তু, যেহেতু, \(a < 0\) এবং \(b < 0\), সংখ্যা চতুর্থ চতুর্থাংশের নয় বরং তৃতীয় চতুর্থাংশে। এই জন্য, মূল আর্গুমেন্টের মান হবে: \[ \theta = \pi + \arctan \left( \frac{b}{a} \right) \] এবং, \(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\), তাই, \[ \theta = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \] এবং, এটি রেডিয়ানে। ডিগ্রি রূপে: \[ \theta = \frac{5\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 225^\circ \] মূল আর্গুমেন্টের মান সাধারণত \(-\pi\) থেকে \(\pi\) এর মধ্যে নির্ধারিত হয়। অতএব, 225° মানটি উপযুক্ত নয়। তাই, এর সমাধান হ???ো: \[ \theta = -135^\circ \] কারণ, 225° এর সমান \(-135^\circ\) (এটি মূল আর্গুমেন্টের মান হিসেবে ব্যবহৃত হয়)।

উপসংহার:

অতএব, -1 - i এর মূল আর্গুমেন্ট \(\boxed{-135^\circ}\) বা \(-\frac{3\pi}{4}\) রেডিয়ান।