যদি z = x + iy; z1 = x1 +iy1; Z2 = x2 + iy2,
- Re(z) ≤ |z|
- arg(z1z2) ≤ arg(z1) + arg(z2)
- |z1 - z2| ge |z1| - |z2|
নিচের কোনটি সঠিক?
i ও iii
প্রশ্নে উল্লেখিত তিনটি বিবৃতি যাচাই করতে হবে:
- Re(z) ≤ |z|
- arg(z1z2) ≤ arg(z1) + arg(z2)
- |z1 - z2| ≥ |z1| - |z2|
বিবৃতি (i): Re(z) ≤ |z|
যাচাই:
z = x + iy, তাহলে:
- Re(z) = x
- |z| = √(x2 + y2)
যেহেতু, x2 + y2 ≥ x2, তাই:
x ≤ √(x2 + y2) = |z|,
অর্থাৎ, বিবৃতি (i) সঠিক।
বিবৃতি (ii): arg(z1z2) ≤ arg(z1) + arg(z2)
যাচাই:
আমরা জানি:
arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2)
অর্থাৎ, এই সমতা সর্বদা সত্য, তাই:
arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2)
সুতরাং, এটি সত্য যে:
arg(z1z2) ≤ arg(z1) + arg(z2),
অর্থাৎ, বিবৃতি (ii) সঠিক।
বিবৃতি (iii): |z1 - z2| ≥ |z1| - |z2|
যাচাই:
এটি ট্রায়েথাগোরাসের অসাম্য, যা বলে:
|z1 - z2| ≤ |z1| + |z2|
এবং, এর বিপরীত অসমতা:
|z1 - z2| ≥ | |z1| - |z2| |
অর্থাৎ, বিবৃতি (iii) এর ???ত্যতা এই অসাম্য দ্বারা নিশ্চিত।
তবে, প্রশ্নে উল্লেখ আছে: "|z1 - z2| ge |z1| - |z2|"
অর্থাৎ, এখানে অসীমের জন্য বলা হয়েছে, তবে সাধারণত:
|z1 - z2| ≥ | |z1| - |z2| |
অর্থাৎ, এটি সবসময় সত্য নয়।
সুতরাং, বিবৃতি (iii) আসলে ভুল।
সারাংশ:
- বিবৃতি (i): সত্য
- বিবৃতি (ii): সত্য
- বিবৃতি (iii): ভুল
তাই, সঠিক উত্তর হলো: i ও iii ভুল, তবে প্রশ্নের উত্তরে বলা হয়েছে "i ও iii"।
তবে, যদি প্রশ্নের মূল মানে হয়, তাহলে সঠিক বিবৃতি হলো: i ও ii। তবে প্রশ্নের উত্তর হিসেবে "i ও iii" দেওয়া হয়েছে।
