\( \frac{2\tan\theta}{1+\tan^2\theta} = ? \)

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} = ?\)

উত্তর: রৈখিক সূত্র এবং ত্রিগণিত পরিচিতি অনুযায়ী, নিম্নলিখিত সমাধানটি দেওয়া যায়।

প্রথমে, \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) ধরি।

তাহলে, মূল সমীকরণটি হয়:

\[ \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \]

এখন, উপরের অংশে \(\tan \theta\) বসিয়ে দিই:

\[ \frac{2 \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{1 + \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right)^2} \]

অভ্যন্তরীণ বিভাজক সমাধান করি:

\[ = \frac{\frac{2 \sin \theta}{\cos \theta}}{1 + \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} \]

অতএব, ডান পাশে সাধারণ মানে আনতে, মূল সমাধানটি হয়:

\[ = \frac{\frac{2 \sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}} \]

এখানে, \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\), তাই:

\[ = \frac{\frac{2 \sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{1}{\cos^2 \theta}} \]

গুণ করে উপরের ও নিচের মানে:

\[ = \frac{2 \sin \theta}{\cos \theta} \times \cos^2 \theta \]

এখানে, \(\frac{2 \sin \theta}{\cos \theta} \times \cos^2 \theta = 2 \sin \theta \times \cos \theta\)

অতএব, সমাধানটি হল:

\[ \boxed{2 \sin \theta \cos \theta} \]

অথবা, জ্যামিতিক সূত্র অনুযায়ী, এটি হতে পারে \(\sin 2\theta\) এর মাধ্যমে প্রকাশিত।