Which of the following point is the reflection (image) of the point (3, -3) in the line 2y = x + 1 ?  

Explanation:

Another Explanation (5): reflection বা প্রতিবিম্ব নির্ণয়: প্রথমে, \(2y = x + 1\) সরলরেখাটিকে \(x - 2y + 1 = 0\) আকারে লিখি। \( (3, -3) \) বিন্দু থেকে \( x - 2y + 1 = 0 \) সরলরেখার লম্বদূরত্ব \( d \) হল: \( d = \frac{|3 - 2(-3) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|3 + 6 + 1|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \) ধরি, \( (3, -3) \) বিন্দুর প্রতিবিম্ব \( (x_1, y_1) \)। তাহলে, \( (3, -3) \) ও \( (x_1, y_1) \) এর সংযোগকারী সরলরেখা \( x - 2y + 1 = 0 \) এর উপর লম্ব হবে এবং এই সরলরেখাটির মধ্যবিন্দু \( x - 2y + 1 = 0 \) এর উপর অবস্থিত হবে। মধ্যবিন্দু: \( (\frac{x_1 + 3}{2}, \frac{y_1 - 3}{2}) \) এই মধ্যবিন্দু \( x - 2y + 1 = 0 \) সরলরেখার উপর অবস্থিত। সুতরাং, \( \frac{x_1 + 3}{2} - 2(\frac{y_1 - 3}{2}) + 1 = 0 \) \( x_1 + 3 - 2y_1 + 6 + 2 = 0 \) \( x_1 - 2y_1 + 11 = 0 \) .....(1) \( (3, -3) \) ও \( (x_1, y_1) \) এর সংযোগকারী সরলরেখার ঢাল \( m_1 = \frac{y_1 + 3}{x_1 - 3} \) এবং \( x - 2y + 1 = 0 \) সরলরেখার ঢাল \( m_2 = \frac{1}{2} \) যেহেতু রেখা দুটি লম্ব, \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) \( \frac{y_1 + 3}{x_1 - 3} \cdot \frac{1}{2} = -1 \) \( y_1 + 3 = -2x_1 + 6 \) \( 2x_1 + y_1 - 3 = 0 \) .....(2) এখন (1) ও (2) নং সমীকরণ সমাধান করি: \( x_1 - 2y_1 + 11 = 0 \) \( 2x_1 + y_1 - 3 = 0 \) (2) নং সমীকরণকে 2 দিয়ে গুণ করে (1) নং সমীকরণ থেকে বিয়োগ করি: \( (x_1 - 2y_1 + 11) - 2(2x_1 + y_1 - 3) = 0 \) \( x_1 - 2y_1 + 11 - 4x_1 - 2y_1 + 6 = 0 \) \( -3x_1 - 4y_1 + 17 = 0 \) \( 3x_1 + 4y_1 - 17 = 0 \) .....(3) (2) নং থেকে পাই, \( y_1 = 3 - 2x_1 \) \( 3x_1 + 4(3 - 2x_1) - 17 = 0 \) \( 3x_1 + 12 - 8x_1 - 17 = 0 \) \( -5x_1 - 5 = 0 \) \( x_1 = -1 \) \( y_1 = 3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5 \) সুতরাং, প্রতিবিম্ব বিন্দুটি হল \( (-1, 5) \) 🥳