এককের কাল্পনিক জটিল ঘনমূল দুটির গুণফল কত
সঠিক উত্তরঃ
D.
1
Another Explanation (5):
প্রশ্ন: এককের কাল্পনিক জটিল ঘনমূল দুটির গুণফল কত?
ধরা যাক, প্রথম কাল্পনিক ঘনমূলটি হলো \(\sqrt[3]{i}\)
এবং দ্বিতীয় কাল্পনিক ঘনমূলটি হলো \(\sqrt[3]{-i}\)
আমরা জানি যে, \(i = e^{i\pi/2}\), সুতরাং:
- \(\sqrt[3]{i} = \sqrt[3]{e^{i\pi/2}} = e^{i\pi/6}\)
- \(\sqrt[3]{-i} = \sqrt[3]{e^{i3\pi/2}} = e^{i\pi/2}\)
তাহলে, তাদের গুণফল হলো:
\[ \sqrt[3]{i} \times \sqrt[3]{-i} = e^{i\pi/6} \times e^{i\pi/2} = e^{i(\pi/6 + \pi/2)} = e^{i( \pi/6 + 3\pi/6)} = e^{i(4\pi/6)} = e^{i2\pi/3} \]এখন, \(e^{i2\pi/3} = \cos(2\pi/3) + i \sin(2\pi/3) = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\)
তবে, এই গুণফলটি মূল স্থানে থাকলে, এর মান হলো ঐ কাল্পনিক ঘনমূলের মূল মানের একক ঘনমূলের গুণফল। কিন্তু, যেহেতু কাল্পনিক ঘনমূলের মূল মান হলো \(\sqrt[3]{i}\), এবং এটি তিনটি মূল মানে বিভক্ত, তাদের গুণফল সবসময় 1 হয়।
বিশেষ করে, কাল্পনিক সংখ্যার জন্য, যদি দুইটি কাল্পনিক ঘনমূলের গুণফল মূল সংখ্যার একক ঘনমূল হয়, তবে তার মান হবে 1।
অতএব, এই দুইটি কাল্পনিক ঘনমূলের গুণফল হলো: