একটি সেকেন্ড দোলকের কার্যকরী দৈর্ঘ্য 1 % বৃদ্ধি করলে, দোলনকাল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

একটি দোলকের কার্যকরী দৈর্ঘ্য \(L\) এবং দোলনের সময়কাল \(T\) সম্পর্কিত সম্পর্কটি হলো:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]

এখানে, \(g\) হলো পৃথিবীর গ্র্যাভিটেশনাল অ্যাকসেলারেশন।

ধরি, \(L\) এর একটি ছোট শতাংশ বৃদ্ধি \( \Delta L \) দ্বারা হয়। যদি \(L\) এর 1% বৃদ্ধি হয়, তাহলে:

\[ \frac{\Delta L}{L} = 0.01 \]

নতুন দৈর্ঘ্য হবে:

\[ L_{new} = L + \Delta L = L(1 + 0.01) = 1.01L \]

নতুন সময়কাল হবে:

\[ T_{new} = 2\pi \sqrt{\frac{L_{new}}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{1.01L}{g}} = 2\pi \sqrt{1.01} \sqrt{\frac{L}{g}} \]

প্রাচীন সময়কাল ছিল:

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \]

অতএব, সময়কাল বৃদ্ধির হার হলো:

\[ \frac{\Delta T}{T} = \frac{T_{new} - T}{T} = \frac{2\pi \sqrt{1.01} \sqrt{\frac{L}{g}} - 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}}{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}} = \sqrt{1.01} - 1 \]

এখন, \(\sqrt{1.01}\) এর মান নির্ণয় করি। সাধারণত, \(\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2}\) যখন \(x\) ছোট, তাই:

\[ \sqrt{1.01} \approx 1 + \frac{0.01}{2} = 1 + 0.005 = 1.005 \]

সুতরাং, সময়কাল বৃদ্ধির হার হলো:

\[ \frac{\Delta T}{T} \approx 1.005 - 1 = 0.005 \]

এখন, শতাংশে রূপান্তর করলে:

\[ \text{শতকরা বৃদ্ধি} = 0.005 \times 100 = 0.5\% \]

অর্থাৎ, কার্যকরী দৈর্ঘ্য 1% বৃদ্ধি করলে দোলনের সময়কাল প্রায় 0.5% বৃদ্ধি পাবে।