ভূপৃষ্ট থেকে একটি সেকেন্ড দোলক কত উচ্চতার পাহাড়ে উঠালে সারাদিনে ১ মিনিট ধীরে চলবে?

প্রশ্নটি হলো: "ভূপৃষ্ট থেকে একটি সেকেন্ড দোলক কত উচ্চতার পাহাড়ে উঠালে সারাদিনে ১ মিনিট ধীরে চলবে?"

এই প্রশ্নের সঠিক উত্তর হলো D. 4.45 km।

ব্যাখ্যা:

• সেকেন্ড দোলক হলো এমন একটি সরল দোলক, যার দোলনকাল ২ সেকেন্ড।
• যখন একটি সেকেন্ড দোলককে ভূপৃষ্ঠ থেকে কোনো উচ্চতায় নিয়ে যাওয়া হয়, তখন অভিকর্ষজ ত্বরণের মান কমে যায়।
• অভিকর্ষজ ত্বরণের মান কমে যাওয়ার কারণে দোলকের দোলনকাল বৃদ্ধি পায় এবং দোলক ধীরে চলতে শুরু করে।
• পাহাড়ের উচ্চতা (h) নির্ণয়ের জন্য নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করা হয়:

h = (T₂/T₁ - 1) × R

যেখানে,

T₁ = ভূপৃষ্ঠে দোলকের দোলনকাল (২ সেকেন্ড) T₂ = পাহাড়ের চূড়ায় দোলকের দোলনকাল R = পৃথিবীর ব্যাসার্ধ (৬৪০০ কিমি)

• প্রশ্নে বলা হয়েছে, দোলকটি সারাদিনে ১ মিনিট ধীরে চলে।
• সারাদিনে মোট সেকেন্ডের সংখ্যা = ২৪ × ৬০ × ৬০ = ৮৬৪০০ সেকেন্ড
• দোলকটি ১ মিনিট ধীরে চললে, মোট সময় হারায় ৬০ সেকেন্ড।
• সুতরাং, পাহাড়ের চূড়ায় দোলনকাল হবে ৮৬৪০০ + ৬০ = ৮৬৪৬০ সেকেন্ড।
• এখন, আমরা পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয় করতে পারি:

h = (৮৬৪৬০ / ৮৬৪০০ - ১) × ৬৪০০ কিমি h = (১.০০০০৬৯৪ - ১) × ৬৪০০ কিমি h = ০.০০০০৬৯৪ × ৬৪০০ কিমি h = ৪.৪৪১৬ কিমি ≈ ৪.৪৫ কিমি

তাই, সঠিক উত্তর হলো D. ৪.৪৫ কিমি।

এখানে অন্যান্য বিকল্পগুলির ভুল ব্যাখ্যা দেওয়া হলো:

• A. ১.৪৫ কিমি: এটি সঠিক উত্তর ন???়, কারণ এটি প্রয়োজনের চেয়ে অনেক কম উচ্চতা।
• B. ২.৪৫ কিমি: এটিও সঠিক উত্তর নয়, কারণ এটি প্রয়োজনের চেয়ে কম উচ্চতা।
• C. ৩.৪৫ কিমি: এটিও সঠিক উত্তর নয়, কারণ এটি প্রয়োজনের চেয়ে কম উচ্চতা।
• E. ৫.৪৫ কিমি: এটিও সঠিক উত্??র নয়, কারণ এটি প্রয়োজনের চেয়ে বেশি উচ্চতা।

সেকেন্ড দোলকের উচ্চতা নির্ণয়

আমরা জানি, \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\), যেখানে \(T\) হলো দোলনকাল, \(l\) হলো দোলকের দৈর্ঘ্য এবং \(g\) হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ।

ধরি, ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g_1\) এবং \(h\) উচ্চতায় \(g_2\)। সুতরাং, \(g_2 = g_1 \left(1 - \frac{2h}{R}\right)\), যেখানে \(R\) হলো পৃথিবীর ব্যাসার্ধ (\(R \approx 6400\) km)।

যেহেতু দোলকটি ধীরে চলে, তাই এর দোলনকাল বৃদ্ধি পায়। একদিনে (24 ঘন্টায়) 1 মিনিট ধীরে চলার অর্থ হলো দোলনকাল \(\frac{24 \times 60}{24 \times 60 - 1} = \frac{1440}{1439}\) গুণ বৃদ্ধি পায়।

সুতরাং, \(\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{g_1}{g_2}} = \frac{1440}{1439}\) বা, \(\frac{g_1}{g_2} = \left(\frac{1440}{1439}\right)^2\)

আমরা জানি, \(g_2 = g_1 \left(1 - \frac{2h}{R}\right)\)। সুতরাং, \(\frac{g_1}{g_1 \left(1 - \frac{2h}{R}\right)} = \left(\frac{1440}{1439}\right)^2\) বা, \(1 - \frac{2h}{R} = \left(\frac{1439}{1440}\right)^2\) বা, \(\frac{2h}{R} = 1 - \left(\frac{1439}{1440}\right)^2\) বা, \(\frac{2h}{R} = 1 - \frac{2070721}{2073600} = \frac{2879}{2073600}\)

অতএব, \(h = \frac{R}{2} \times \frac{2879}{2073600} = \frac{6400 \times 10^3}{2} \times \frac{2879}{2073600} \approx 4449.7\) মিটার

সুতরাং, \(h \approx 4.45\) km। ⛰️