পোলার স্থানাঙ্কে (5,π/4) কেন্দ্র ও 2 ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?

Explanation:

Another Explanation (5): পোলার স্থানাঙ্কে বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয়: কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে বৃত্তের সমীকরণ: \((x-h)^2 + (y-k)^2 = a^2\), যেখানে \((h, k)\) কেন্দ্র এবং \(a\) ব্যাসার্ধ। এখানে, কেন্দ্র \((5, \frac{\pi}{4})\) এবং ব্যাসার্ধ \(2\) দেওয়া আছে। প্রথমে, পোলার স্থানাঙ্ক \((5, \frac{\pi}{4})\) কে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে রূপান্তরিত করি: \(x = r \cos(\theta) = 5 \cos(\frac{\pi}{4}) = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}\) \(y = r \sin(\theta) = 5 \sin(\frac{\pi}{4}) = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}\) সুতরাং, কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে কেন্দ্র \((\frac{5}{\sqrt{2}}, \frac{5}{\sqrt{2}})\)। এখন, বৃত্তের কার্তেসীয় সমীকরণ হবে: \((x - \frac{5}{\sqrt{2}})^2 + (y - \frac{5}{\sqrt{2}})^2 = 2^2\) \(\implies x^2 - \frac{10}{\sqrt{2}}x + \frac{25}{2} + y^2 - \frac{10}{\sqrt{2}}y + \frac{25}{2} = 4\) \(\implies x^2 + y^2 - 5\sqrt{2}x - 5\sqrt{2}y + 25 = 4\) \(\implies x^2 + y^2 - 5\sqrt{2}x - 5\sqrt{2}y + 21 = 0\) এখন, কার্তেসীয় স্থানাঙ্ককে পোলার স্থানাঙ্কে রূপান্তরিত করি: \(x = r \cos(\theta)\) এবং \(y = r \sin(\theta)\) এবং \(x^2 + y^2 = r^2\) তাহলে, পোলার সমীকরণ হবে: \(r^2 - 5\sqrt{2}r\cos(\theta) - 5\sqrt{2}r\sin(\theta) + 21 = 0\) \(r^2 - 5\sqrt{2}(\cos(\theta) + \sin(\theta))r + 21 = 0\) সুতরাং, নির্ণেয় পোলার সমীকরণ: \(r^2 - 5\sqrt{2}(\cos(\theta) + \sin(\theta))r + 21 = 0\) 🎉