lim_(x->3)(x^3-27)/(x^2-9) এর মান কোনটি?
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন: \(\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 27}{x^2 - 9}\)
প্রথমে, দেখুন যে যখন \(x = 3\), তখন উভয় উভয় উভয়ই 0 হয়:
\[
x^3 - 27 = 3^3 - 27 = 27 - 27 = 0
\]
\[
x^2 - 9 = 3^2 - 9 = 9 - 9 = 0
\]
অর্থাৎ, এটি একটি অব্যক্ত অনির্দিষ্ট রূপ (0/0), তাই মূলত লিমিটটি সরাসরি হিসাব করা সম্ভব নয়। এখন, সাধারণ ফ্যাক্টরাইজেশন করে উপরের অভিব্যক্তি সরলীকরণ করব।
\[
x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)
\]
এবং,
\[
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
\]
অতএব, অভিব্যক্তিটি হবে:
\[
\frac{x^3 - 27}{x^2 - 9} = \frac{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)}{(x - 3)(x + 3)}
\]
\(x \neq 3\) হলে, \((x - 3)\) কেটে যায়:
\[
\frac{x^2 + 3x + 9}{x + 3}
\]
এখন, লিমিটটি হলো:
\[
\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 3x + 9}{x + 3}
\]
অর্থাৎ, সরাসরি \(x = 3\) বসিয়ে মূল্য নির্ণয় করব:
\[
\frac{(3)^2 + 3 \times 3 + 9}{3 + 3} = \frac{9 + 9 + 9}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}
\]
অতএব, এই লিমিটের মান হলো:
উত্তর: \(\boxed{\frac{9}{2}}\)
