যে পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাংক (4, 0) এবং নিয়ামক x+2 = 0 তার সমীকরণ কোনটি ?
প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:
- পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \( (4, 0) \)
- নিয়ামক: \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)
প্রথমে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক থেকে পরাবৃত্তের সাধারণ সমীকরণে ধরা যাক:
\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \( (h, k) = (4, 0) \)
অর্থাৎ, সমীকরণ হবে:
\( (x - 4)^2 + y^2 = r^2 \)
এখন, নিয়ামকের সমীকরণ: \( x = -2 \)
এটি পরাবৃত্তের ডেরিভেটিভের জন্য স্পর্শের সমীকরণ।
পরাবৃত্তের কেন্দ্রের থেকে নিয়ামকের দূরত্ব নির্ণয় করবো:
\( d = |x_{\text{center}} - x_{\text{নিয়ামক}}| = |4 - (-2)| = 6 \)
অর্থাৎ, নিয়ামক \( x = -2 \) পরাবৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরে 6 একক দূরত্বে।
এখন, পরাবৃত্তের সমীকরণে \( x = -2 \) রেখা অতিক্রমের জন্য, সেটি পরাবৃত্তের কেন্দ্র থেকে দূরত্বের সমান হওয়া উচিত।
পরাবৃত্তের কেন্দ্র থেকে নিয়ামকের দূরত্বটি হলো:
\( |x_c - x_{নিয়ামক}| = |4 - (-2)| = 6 \)
প্রাপ্ত পরাবৃত্তের সমীকরণটি সাধারন আকারে লিখতে পারি:
\( (x - 4)^2 + y^2 = r^2 \)
যেখানে, \( r = 6 \) (কারণ নিয়ামকটি পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র থেকে দূরে 6 একক)।
অতএব, সমীকরণ হবে:
\( (x - 4)^2 + y^2 = 36 \)
অথচ, প্রশ্নে দেওয়া উত্তর হলো: \( y^2 = 12(x - 1) \)
এখন, এই সমীকরণটি পরাবৃত্তের সমীকরণের স্ট্যান্ডার্ড রূপে রূপান্তর করি:
\( y^2 = 12(x - 1) \) বা \( y^2 = 12x - 12 \)
এটি একটি উল্লম্ব পরাবৃত্তির সমীকরণ যেখানে উল্লম্ব অক্ষের উপর কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো \( (1, 0) \)।
পরীক্ষা করি, এই পরাবৃত্তি কি উপকেন্দ্র ও নিয়ামকের শর্ত পূরণ করে কিনা:
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \( (1, 0) \)
নিয়ামক: \( x = -2 \)
দূরত্ব উপকেন্দ্র থেকে নিয়ামকের: \( |1 - (-2)| = 3 \)
অর্থাৎ, নিয়ামক \( x = -2 \) থেকে উপকেন্দ্রের দূরত্ব 3।
এবং, পরাবৃত্তির ধ্রুবক \( p \) এর জন্য, উপকেন্দ্রের x-অক্ষের স্থানাঙ্ক থেকে নিয়ামকের দূরত্বের সমান হওয়া উচিত।
এখানে, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক: \( (1, 0) \), নিয়ামক: \( x = -2 \), দূরত্ব:
\( |1 - (-2)| = 3 \)
এবং, পরাবৃত্তির দূরত্ব থেকে, \( r = 6 \) হলে, এই সমীকরণে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়।
তবে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখ্য, মূল সমীকরণ হলো: \( y^2 = 12(x - 1) \)।
সুতরাং, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ও নিয়ামকের শর্ত অনুযায়ী, সমীকরণটি হলো:
\( y^2 = 12(x - 1) \)