\( x^2 - 5x - 3 = 0 \) সমীকরণের মূলদ্বয় \( \alpha, \beta \) হলে , \( \frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta} \) মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি কি?

প্রথমে, সমীকরণটি হল:
\( x^2 - 5x - 3 = 0 \)

এর মূলদ্বয় হলো \( \alpha \) ও \( \beta \)।
সমীকরণের মূলদ্বয়ের জন্য পরিচিত সূত্র:

Sum of roots: \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)
Product of roots: \( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)


এখানে, \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = -3 \)।
অর্থাৎ,

\alpha + \beta = -\frac{-5}{1} = 5
\end{code}

এবং,

\alpha \beta = \frac{-3}{1} = -3
\end{code}


এখন, আমাদের লক্ষ্য হলো মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি খুঁজে বের করা যেখানে মূলগুলো হলো \( \frac{1}{\alpha} \) ও \( \frac{1}{\beta} \)।

নতুন সমীকরণের মূলগুলো হলো:

\frac{1}{\alpha} \quad \text ও \quad \frac{1}{\beta}



এগুলোর যোগফল হল:

\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta} = \frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}



এবং, গুণফল:

\frac{1}{\alpha} \times \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha \beta} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}



অতএব, নতুন সমীকরণের মূলদ্বয় হলো:

x^2 - \left( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \right) x + \frac{1}{\alpha \beta} = 0



এখানে,

x^2 - \left( -\frac{5}{3} \right) x + \left( -\frac{1}{3} \right) = 0



এটি সরলীকরণ করলে:

x^2 + \frac{5}{3} x - \frac{1}{3} = 0



প্রতিটি সদস্যের মাধ্যমে 3 দ্বারা গুণ করলে:

3x^2 + 5x - 1 = 0



অতএব, মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি হলো:

$3x^2\; +\; 5x\; -\; 1\; =\; 0$