কোন দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল √5-1 হলে সমীকরণটি হবে? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: কোন দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(\sqrt{5} - 1\) হলে সমীকরণটি হবে? ধরি, সমীকরণটি হলো: \(ax^2 + bx + c = 0\) এর মূলগুলো হলো \(x_1\) এবং \(x_2\)। আমাদের জানা আছে: \(x_1 = \sqrt{5} - 1\) এবং দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের যোগফল ও গুণফল সম্পর্ক: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \] \[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} \] ধরা যাক, সমীকরণটি: \[ x^2 + px + q = 0 \] তাহলে, \[ x_1 + x_2 = -p \] \[ x_1 x_2 = q \] এখন, \[ x_1 + x_2 = (\sqrt{5} - 1) + x_2 \] আমরা জানি, মূলগুলো নির্ণয় করতে হলে, অন্য মূলটি কি হবে তা জানা দরকার। তবে, আমরা চাচ্ছি এমন একটি সমীকরণ যেখানে একটি মূল \(x_1 = \sqrt{5} - 1\)। ধরা যাক, সমীকরণটি হলো: \[ x^2 + px + q = 0 \] এবং একটি মূল \(x_1 = \sqrt{5} - 1\) হলে, অন্য মূলের জন্য: \[ x_2 = \text{অন্য মূল} \] আমরা জানি, দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান সূত্র: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] অথবা, মূলের যোগফল ও গুণফল দ??য়ে: \[ x_1 + x_2 = -p \] \[ x_1 x_2 = q \] আমাদের লক্ষ্য হলো এমন \(p\) ও \(q\) নির্ণয় করা যাতে একটি মূল \(x_1 = \sqrt{5} - 1\) হয়। অতএব, সমীকরণটি হবে: \[ x^2 + px + q = 0 \] এবং, মূলগুলো হল: \[ x_1 = \sqrt{5} - 1 \] \[ x_2 = \text{অন্য মূল} \] আমরা চাই মূলগুলো নির্ণয় করে এমন সমীকরণ লেখা যেখানে মূল \(x_1 = \sqrt{5} - 1\) হয়। এখন, মূলের যোগফল: \[ x_1 + x_2 = -p \] এবং মূলের গুণফল: \[ x_1 x_2 = q \] আমরা জানি, মূলের একটি হল \(\sqrt{5} - 1\)। অন্য মূল নির্ণয় করতে চাইলে, এমন সমীকরণ তৈরি করব যেখানে মূলগুলো হলো: \[ x = \sqrt{5} - 1 \] এবং অন্য মূল \(x_2\) হিসেবে, দ্বিগুণ মূলের যোগফল ও গুণফল থেকে নির্ণয় করব। অতএব, সমাধান: ধরা যাক, মূলগুলো হলো: \[ x_1 = \sqrt{5} - 1 \] \[ x_2 = \text{অন্য মূল} \] আমরা জানি, সমীকরণের মূলগুলো যদি \(x_1\) ও \(x_2\) হয়, তাহলে: \[ x_1 + x_2 = -p \] \[ x_1 x_2 = q \] এখন, \(x_1 = \sqrt{5} - 1\) থাকলে, \(x_2\) নির্ণয় করতে হবে। তবে, এখানে মূলের সংখ্যাগুলি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের জন্য মানানসই হওয়া উচিত। পরীক্ষা করি, সমীকরণ: \[ x^2 + 2x - 4 = 0 \] এর মূলগুলো নির্ণয় করি: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 2 \sqrt{5}}{2} \] \[ x = -1 \pm \sqrt{5} \] অর্থাৎ, মূলগুলো হলো: \[ x = -1 + \sqrt{5} \quad \text{অথবা} \quad x = -1 - \sqrt{5} \] এখন, প্রথম মূল: \[ x = -1 + \sqrt{5} = \sqrt{5} - 1 \] যা আমাদের দেয়া মূলের সঙ্গে একরকম। অতএব, সমীকরণটি হলো: \[ x^2 + 2x - 4 = 0 \] যার একটি মূল \(\sqrt{5} - 1\)। **উত্তর:** \(x^2 + 2x - 4 = 0\)