a এর মান কত হলে, y = ax (1 + x) বক্ররেখা মূলবিন্দুতে স্পর্শক x অক্ষের সাথে 30° কোন উৎপন্ন করবে?

দেওয়া আছে, \(y = ax(1 + x)\) একটি বক্ররেখা। 🤔

বক্ররেখাটি মূলবিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সাথে \(30^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে। 📐

আমাদের \(a\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। 🎯

প্রথমে, বক্ররেখাটিকে একটু সরল করা যাক:

\(y = ax + ax^2\)

এখন, \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করি। ✏️

\(\frac{dy}{dx} = a + 2ax\)

যেহেতু স্পর্শকটি মূলবিন্দুতে \(x\) অক্ষের সাথে \(30^\circ\) কোণ উৎপন্ন করে, তাই মূলবিন্দু \((0, 0)\) -এ \(\frac{dy}{dx}\) এর মান হবে \(tan(30^\circ)\)। 🤓

অর্থাৎ, \(\left[\frac{dy}{dx}\right]_{(0, 0)} = tan(30^\circ)\)

আমরা জানি, \(tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\). 😃

সুতরাং, \(a + 2a(0) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow a = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

অতএব, \(a\) এর মান \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)। 🎉