3 একক ব্যাস ও 15 একক উচ্চতা বিশিষ্ট একটি সিলিন্ডার 3 একক ব্যাস বিশিষ্ট সুষম ও মসৃণ গোলক দ্বারা পূর্ণ করা হলো। সিলিন্ডারের কত অংশ ফাঁকা থাকবে?

Explanation: Solve: একটি গোলকের আয়তন \( \frac{4}{3} \pi \left(\frac{3}{2}\right)^3 \) হলে 5টির আয়তন \( 5 \times \frac{4}{3} \pi \left(\frac{3}{2}\right)^3 \)। সিলিন্ডারের আয়তন \( \pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 \times 15 \)। ফাঁকা আয়তন \( \pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 \times 15 - 5 \times \frac{4}{3} \pi \left(\frac{3}{2}\right)^3 \)। অতএব, যত অংশ ফাঁকা = ফাঁকা আয়তন: সিলিন্ডারের সম্পূর্ণ আয়তন = \( \frac{\pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 \times 15 - 5 \times \frac{4}{3} \pi \left(\frac{3}{2}\right)^3}{\pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 \times 15} \)। = \( \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{4}{3} \times 5}{\left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{1}{3} \)। Ans. (C)

Another Explanation (5): গণিত 🧮: সিলিন্ডারে গোলক ⚽ দেয়া আছে, সিলিন্ডারের ব্যাস = 3 একক সুতরাং, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ \( r = \frac{3}{2} \) একক সিলিন্ডারের উচ্চতা \( h = 15 \) একক গোলকের ব্যাস = 3 একক সুতরাং, গোলকের ব্যাসার্ধ \( R = \frac{3}{2} \) একক সিলিন্ডারের আয়তন \( V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi (\frac{3}{2})^2 \times 15 = \pi \times \frac{9}{4} \times 15 = \frac{135\pi}{4} \) ঘন একক গোলকের আয়তন \( V_{sphere} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{3}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi \times \frac{27}{8} = \frac{9\pi}{2} \) ঘন একক যেহেতু সিলিন্ডারটি গোলক দ্বারা পূর্ণ করা হয়েছে, তাই সিলিন্ডারের মধ্যে গোলকের আয়তন \( \frac{9\pi}{2} \) ঘন একক। সিলিন্ডারের ফাঁকা অংশের আয়তন \( = V_{cylinder} - V_{sphere} = \frac{135\pi}{4} - \frac{9\pi}{2} = \frac{135\pi - 18\pi}{4} = \frac{117\pi}{4} \) ঘন একক সিলিন্ডারের কত অংশ ফাঁকা থাকবে 🤔, তা বের করতে, ফাঁকা অংশের আয়তনকে সিলিন্ডারের মোট আয়তন দিয়ে ভাগ করতে হবে। অতএব, ফাঁকা অংশের ভগ্নাংশ \( = \frac{\frac{117\pi}{4}}{\frac{135\pi}{4}} = \frac{117\pi}{4} \times \frac{4}{135\pi} = \frac{117}{135} = \frac{13}{15} \) কিন্তু 🤔 উত্তরে \( \frac{1}{3} \) দেয়া আছে, তাই calculation টা review করা যাক। যদি সিলিন্ডারটি শুধুমাত্র একটি গোলক দিয়ে পূর্ণ করা হয় তবে, ফাঁকা অংশের আয়তন \( = \frac{135\pi}{4} - \frac{9\pi}{2} = \frac{117\pi}{4} \) ঘন একক ফাঁকা অংশের ভগ্নাংশ \( = \frac{117\pi/4}{135\pi/4} = \frac{117}{135} = \frac{13}{15} \) যদি সিলিন্ডারের উচ্চতা গোলকের ব্যাসের সমান হয়, তবে সিলিন্ডারের উচ্চতা হবে 3 একক। সেই ক্ষেত্রে, সিলিন্ডারের আয়তন \( V_{cylinder} = \pi r^2 h = \pi (\frac{3}{2})^2 \times 3 = \pi \times \frac{9}{4} \times 3 = \frac{27\pi}{4} \) ঘন একক ফাঁকা অংশের আয়তন \( = \frac{27\pi}{4} - \frac{18\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \) ঘন একক ফাঁকা অংশের ভগ্নাংশ \( = \frac{9\pi/4}{27\pi/4} = \frac{9}{27} = \frac{1}{3} \) যেহেতু, প্রথমে সিলিন্ডারের উচ্চতা 15 একক ছিল, তাই \(\frac{13}{15}\) ই সঠিক উত্তর। যদি উচ্চতা 3 একক হয় তবে \(\frac{1}{3}\) হবে।