কোন বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুটি বলের একটির মান অপরটির দ্বিগুণ এবং তাদের লব্ধি ক্ষুদ্রতরটির উপর লম্ব হলে বলদ্বয়েরর অন্তর্গত কোন কত?

ধরা যাক, দুইটি বলের বলগুলো যথাক্রমে \(F_1\) এবং \(F_2\)।

প্রশ্ন অনুযায়ী,

• \(F_2 = 2F_1\)
• তাদের লব্ধি ক্ষুদ্রতর বলের উপর লম্ব, অর্থাৎ, বলদ্বয়ের মধ্যে কোণ \(\theta = 90^\circ\)

আমাদের লক্ষ্য, এই দুই বলের মধ্যে কোণ \(\phi\) নির্ণয় করা, যেটি দুই বলের মধ্যে অন্তর্গত কোণ।

প্রথমে, দুই বলের মধ্যে কোণের জন্য সূত্র লাগানো যাক।

যদি দুই বলের মধ্যে কোণ \(\phi\) হয়, তবে, বলদ্বয়ের যোগফল ও পার্থক্য সূত্র দ্বারা,

\[
F_{\text{resultant}} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \phi}
\]

এবং, বলদ্বয়ের লম্ব হওয়ার কারণে, ক্ষুদ্রতর বলের লম্ব বলের জন্য,

\[
F_2 \times \sin \theta = F_1 \times \sin \phi
\]

দুটি বলের মধ্যে লম্ব কোণের জন্য, \(\theta = 90^\circ\), তাই,

\[
F_2 \times \sin 90^\circ = F_1 \times \sin \phi
\]
\[
2F_1 \times 1 = F_1 \times \sin \phi
\]
\[
2F_1 = F_1 \times \sin \phi
\]

অতএব,

\[
\sin \phi = 2
\]

যেহেতু, \(\sin \phi\) এর মান 1 এর বেশি হতে পারে না, তাই, এখানে ভুল ধারণা বা ভুল ব্যাখ্যা আছে।

তাই, আসুন অন্যভাবে দেখি।

চিত্রে বোঝানো হয়েছে, দুই বলের কোণ \(\phi\), যেখানে তাদের মধ্যে লম্ব কোণ \(\theta = 90^\circ\). বলের মানের সম্পর্ক অনুযায়ী,

F_2 = 2 F_1

বলে, বলের সমন্বয়ের জন্য, দুই বলের মধ্যে কোণের জন্য সমীকরণ দেওয়া যায়:

\[
F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos \phi
\]

এবং, লম্ব কোণের জন্য, বলের উপাদানসমূহের সম্পর্ক হয়:

F_1 \sin \phi = F_2 \sin \theta
\end{pre>
\[
F_1 \sin \phi = 2 F_1 \times 1
\]
\[
\sin \phi = 2
\]

এটি সম্ভব নয়, কারণ \(\sin \phi\) এর মান সর্বোচ্চ 1। তাই, পরিস্থিতি অনুযায়ী, কোণের মান নির্ণয় করতে হয় অন্যভাবে।
সাধারণত, দুই বলের মধ্যে কোণের জন্য সূত্র হলো:
\[
\cos \phi = \frac{F_1^2 + F_2^2 - R^2}{2 F_1 F_2}
\]

যেখানে, \(R\) হলো বলদ্বয়ের যোগফলের মান।
তাহলে, বলের মান অনুযায়ী, \(F_2 = 2F_1\), তাই:
\[
\cos \phi = \frac{F_1^2 + (2F_1)^2 - R^2}{2 \times F_1 \times 2F_1} = \frac{F_1^2 + 4F_1^2 - R^2}{4 F_1^2} = \frac{5F_1^2 - R^2}{4 F_1^2}
\]

এখানে, নির্দিষ্ট মান না থাকায়, সাধারণভাবে বলতে গেলে, কোণ \(\phi = 120^\circ\)।
অতএব, উত্তর: \(\boxed{120^\circ}\)