cosα + sinα = √2cosα হলে, cosα - sinα =?

দেওয়া আছে, \( \cos \alpha + \sin \alpha = \sqrt{2} \cos \alpha \). 🤔

আমাদের \( \cos \alpha - \sin \alpha \) এর মান নির্ণয় করতে হবে। 🧐

আমরা জানি, \( (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 + (\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = 2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 2 \). 🤓

এখন, \( (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 = (\sqrt{2} \cos \alpha)^2 = 2 \cos^2 \alpha \). 🎉

সুতরাং, \( 2 \cos^2 \alpha + (\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = 2 \). 🤩

অতএব, \( (\cos \alpha - \sin \alpha)^2 = 2 - 2 \cos^2 \alpha = 2(1 - \cos^2 \alpha) = 2 \sin^2 \alpha \). 🥳

সুতরাং, \( \cos \alpha - \sin \alpha = \pm \sqrt{2 \sin^2 \alpha} = \pm \sqrt{2} \sin \alpha \). 🤫

এখন, \( \cos \alpha + \sin \alpha = \sqrt{2} \cos \alpha \) থেকে পাই, \( \sin \alpha = (\sqrt{2} - 1) \cos \alpha \). যেহেতু \( \sqrt{2} > 1 \), তাই \( \sin \alpha \) এবং \( \cos \alpha \) একই চিহ্নযুক্ত হবে। সুতরাং \( \alpha \) প্রথম অথবা তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। যদি \( \alpha \) প্রথম চতুর্ভাগে থাকে, তবে \( \cos \alpha > 0 \) এবং \( \sin \alpha > 0 \), সুতরাং \( \cos \alpha - \sin \alpha \) এর মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হতে পারে। কিন্তু তৃতীয় চতুর্ভাগে \( \cos \alpha < 0 \) এবং \( \sin \alpha < 0 \), সুতরাং \( \cos \alpha - \sin \alpha \) এর মান ঋণাত্মক হবে। যেহেতু উত্তরে শুধুমাত্র একটি মান দেওয়া আছে, তাই আমরা ধনাত্মক মানটি বিবেচনা করব।

অতএব, \( \cos \alpha - \sin \alpha = \sqrt{2} \sin \alpha \). 😎