ABC ত্রিভুজে যদি(a + b + c) (b + c - a) = 3 abc হয়, তবে <BAC = ?

দেওয়া আছে, \( (a + b + c) (b + c - a) = 3bc \)

আমরা জানি, \( a + b + c = 2s \)

সুতরাং, \( b + c - a = 2s - 2a = 2(s - a) \)

প্রদত্ত সমীকরণ থেকে পাই, \( 2s \cdot 2(s - a) = 3bc \)

\( \implies 4s(s - a) = 3bc \)

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, \( \Delta = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \)

এবং \( \Delta = \frac{1}{2}bc \sin A \)

সুতরাং, \( \Delta^2 = s(s - a)(s - b)(s - c) = \frac{1}{4} b^2 c^2 \sin^2 A \)

আমরা পেয়েছি, \( s(s - a) = \frac{3}{4} bc \)

তাহলে, \( \frac{3}{4} bc (s - b)(s - c) = \frac{1}{4} b^2 c^2 \sin^2 A \)

\( \implies 3(s - b)(s - c) = bc \sin^2 A \)

আমরা জানি, \( \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \)

তাহলে, \( 2bc \cos A = b^2 + c^2 - a^2 \)

আবার, \( (a + b + c) (b + c - a) = 3bc \)

\( \implies (b + c)^2 - a^2 = 3bc \)

\( \implies b^2 + c^2 + 2bc - a^2 = 3bc \)

\( \implies b^2 + c^2 - a^2 = bc \)

সুতরাং, \( 2bc \cos A = bc \)

\( \implies \cos A = \frac{1}{2} \)

\( \implies A = \frac{\pi}{3} \)

অতএব, \( \angle BAC = \frac{\pi}{3} \) 🥳