tanθ = 3/4 এবং sinθ ঋণাত্মক হলে sin(-θ) + cos(-θ) = কত? 

দেওয়া আছে, \( \tan \theta = \frac{3}{4} \) এবং \( \sin \theta \) ঋণাত্মক।

যেহেতু \( \tan \theta \) ধনাত্মক এবং \( \sin \theta \) ঋণাত্মক, তাই \( \theta \) তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।

আমরা জানি, \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)। সুতরাং, \( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3}{4} \)।

আমরা আরও জানি, \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)।

ধরি, \( \sin \theta = -3x \) এবং \( \cos \theta = -4x \) (যেহেতু তৃতীয় চতুর্ভাগে sin ও cos উভয়ই ঋণাত্মক)।

তাহলে, \( (-3x)^2 + (-4x)^2 = 1 \) \( \Rightarrow 9x^2 + 16x^2 = 1 \) \( \Rightarrow 25x^2 = 1 \) \( \Rightarrow x^2 = \frac{1}{25} \) \( \Rightarrow x = \pm \frac{1}{5} \)

যেহেতু \( \theta \) তৃতীয় চতুর্ভাগে, \( x = \frac{1}{5} \) হবে।

সুতরাং, \( \sin \theta = -\frac{3}{5} \) এবং \( \cos \theta = -\frac{4}{5} \)।

এখন, \( \sin(-\theta) = -\sin \theta = -(-\frac{3}{5}) = \frac{3}{5} \) এবং \( \cos(-\theta) = \cos \theta = -\frac{4}{5} \)।

অতএব, \( \sin(-\theta) + \cos(-\theta) = \frac{3}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{1}{5} \)।

সুতরাং, \( \sin(-\theta) + \cos(-\theta) = -\frac{1}{5} \)。 🎉