নিক্ষেপণ কোণ কত হলে সর্বাধিক উচ্চতা আনুভূমিক পাল্লার সমান হবে? 

Another Explanation (5):

প্রশ্নের সমাধান:

প্রশ্ন: নিক্ষেপণ কোণ কত হলে সর্বাধিক উচ্চতা আনুভূমিক পাল্লার সমান হবে? ধরা যাক, নিক্ষেপণ কোণ = \(\theta\)। উচ্চতা (h) এর জন্য সমীকরণ: \[ h = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \] অথবা, আউটপুটের জন্য মূলত উচ্চতা সর্বোচ্চ করতে হলে, \(\sin^2 \theta\) এর মান সর্বোচ্চ হতে হবে। কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে, উচ্চতা ও আনুভূমিক দূরত্ব সমান হলে, অর্থাৎ: \[ h = R \] আনুভূমিক দূরত্ব (R): \[ R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} \] এখন, \(h\) এবং \(R\) সমান হলে: \[ \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} \] উভয় পাশে \(u^2 / g\) দ্বারা ভাগ করলে: \[ \frac{\sin^2 \theta}{2} = \sin 2\theta \] তাই: \[ \sin^2 \theta = 2 \sin 2\theta \] জানা: \[ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \] অতএব: \[ \sin^2 \theta = 4 \sin \theta \cos \theta \] অথবা: \[ \sin \theta (\sin \theta - 4 \cos \theta) = 0 \] অর্থাৎ, বা: \[ \sin \theta = 0 \] (অর্থাৎ \(\theta = 0^\circ, 180^\circ\) যা বাস্তব নয়) অথবা: \[ \sin \theta = 4 \cos \theta \] এখানে: \[ \tan \theta = 4 \] সুতরাং: \[ \theta = \arctan 4 \] যা মানে: \[ \theta \approx \arctan 4 \approx 75.96^\circ \] **অতএব, নিক্ষেপণ কোণ \(\approx 75.96^\circ\)** হলে সর্বাধিক উচ্চতা আনুভূমিক পাল্লার সমান হবে।