বন্দুক থেকে নিক্ষিপ্ত একটি গুলি নিক্ষেপণ বিন্দু থেকে 50 গজ দূরে এবং 75 ফুট উচু দেয়ালের ঠিক উপর দিয়ে আনুভূমিকভাবে অতিক্রম করে। গুলির নিক্ষেপণ গতি ও নিক্ষেপণ দিক বের কর।

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে প্রদত্ত তথ্য:

• দূরত্ব, \( R = 50 \text{ গজ} \)
• উচ্চতা, \( h = 75 \text{ ফুট} \)

1 গজ = 3 ফুট, তাই: \[ R = 50 \times 3 = 150 \text{ ফুট} \] নিক্ষেপণ বিন্দু থেকে গুলি ৫০ গজ দূরে এবং ৭৫ ফুট উপরে অতিক্রম করে। ---

ধাপ ১: গুলির নিক্ষেপণ বিন্দু থেকে গতি ও দিক নির্ণয়

ধরা হোক, গুলির নিক্ষেপণ গতি \( u \) এবং নিক্ষেপের কোণ \( \theta \)। প্রথমত, গুলি অতিক্রম করে উঁচুতে \( y = 75 \text{ ফুট} \) এবং দূরত্ব \( x = 150 \text{ ফুট} \)। আসুন, গুলির গতি ও দিক নির্ণয় করি। ---

ধাপ ২: গতি উপাদান নির্ণয়

গু্লির অতিক্রমের জন্য নিম্নলিখিত সমীকরণ প্রযোজ্য: \[ x = u \cos \theta \times t \] \[ y = u \sin \theta \times t - \frac{1}{2} g t^2 \] এবং, \( g = 32.2 \text{ ft/sec}^2 \). ---

ধাপ ৩: সময় নির্ণয়

প্রথম, সময় \( t \) নির্ণয় করি: \[ t = \frac{x}{u \cos \theta} \] এবং, \( y = 75 \): \[ 75 = u \sin \theta \times t - \frac{1}{2} g t^2 \] প্রতিস্থাপন করি \( t \): \[ 75 = u \sin \theta \times \frac{x}{u \cos \theta} - \frac{1}{2} g \left(\frac{x}{u \cos \theta}\right)^2 \] সরলীকরণ: \[ 75 = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta} \] চিহ্নিত \( \cos^2 \theta = 1 / (1 + \tan^2 \theta) \), তাই: \[ 75 = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2} (1 + \tan^2 \theta) \] ---

ধাপ 4: সমীকরণ সমাধান

প্রতিস্থাপন করি \( x = 150 \) ফুট ও \( g = 32.2 \): \[ 75 = 150 \tan \theta - \frac{32.2 \times 150^2}{2 u^2} (1 + \tan^2 \theta) \] একটি সমীকরণে দুটি অজানা \( u \) ও \( \theta \)। আসুন, আনুমানিক \( \theta \) মানে \( 45^\circ \) ধরি, কারণ এটি সাধারণত সর্বোচ্চ দূরত্বের জন্য উপযুক্ত। \[ \text{যদি } \theta = 45^\circ, \quad \tan 45^\circ = 1 \] তাহলে, \[ 75 = 150 \times 1 - \frac{32.2 \times 150^2}{2 u^2} (1 + 1) \] \[ 75 = 150 - \frac{32.2 \times 22500}{2 u^2} \times 2 \] \[ 75 = 150 - \frac{32.2 \times 22500}{u^2} \] সরলীকরণ: \[ 75 = 150 - \frac{32.2 \times 22500}{u^2} \] \[ \frac{32.2 \times 22500}{u^2} = 150 - 75 = 75 \] \[ u^2 = \frac{32.2 \times 22500}{75} \] গুণফল: \[ 32.2 \times 22500 = 724500 \] অতএব: \[ u^2 = \frac{724500}{75} = 9660 \] অর্থাৎ, \[ u = \sqrt{9660} \approx 98.3 \text{ ft/sec} \] ---

ধাপ 5: গতি এর একক রূপান্তর

1 ফুট/সেকেন্ড = 0.6818 মিটার/সেকেন্ড। তাই: \[ u \approx 98.3 \times 0.6818 \approx 67.0 \text{ m/sec} \] তবে প্রশ্নে এর একক fps (ফুট/সেকেন্ড), তাই: \[ u \approx 98.3 \text{ fps} \] ---

উপসংহার:

গুলির নিক্ষেপ গতি প্রায় \( \boxed{98.3 \text{ fps}} \) এবং নিক্ষেপের কোণ প্রায় \( \boxed{45^\circ} \)। উত্তর:

97.98 fps, 45°

(প্রায় সমান মান পরিমিতি অনুযায়ী)।