প্রক্ষেপকের ভ্রমণকাল T, আনুভূমিক পাল্লা R এবং অনুভূমিকভাবে সঙ্গে প্রক্ষেপন কোণ α হলে, T²/R=?
সমাধান:
প্রশ্ন অনুযায়ী, প্রক্ষেপকের ভ্রমণকাল \( T \), আনুভূমিক পাল্লা \( R \), এবং প্রক্ষেপন কোণ \( \alpha \)।
প্রক্ষেপণের জন্য সমীকরণগুলি নিন।
প্রক্ষেপণের মূল সমীকরণ:
- উচ্চতা: \( y = v_{0} \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \)
- আনুভূমিক দূরত্ব: \( R = v_{0} \cos \alpha \cdot T \)
যেখানে, \( v_{0} \) হল প্রাথমিক গতি।
প্রথমে, ভ্রমণের সময় \( T \) নির্ণয় করুন।
প্রক্ষেপণের সময় যখন লক্ষ্যবস্তুতে পৌঁছায়, তখন উচ্চতা শূন্য হয়, অর্থাৎ:
\[ y = 0 = v_{0} \sin \alpha \cdot T - \frac{1}{2} g T^2 \]
এখানে, \( T \neq 0 \), তাই:
\[ v_{0} \sin \alpha = \frac{1}{2} g T \]
অথবা,
\[ v_{0} = \frac{g T}{2 \sin \alpha} \]
এখন, আনুভূমিক দূরত্ব \( R \):
\[ R = v_{0} \cos \alpha \cdot T \]
এখানে, \( v_{0} \) এর মান বসান:
\[ R = \left( \frac{g T}{2 \sin \alpha} \right) \cdot \cos \alpha \cdot T \]
এটি সরলীকরণ করুন:
\[ R = \frac{g T^2}{2 \sin \alpha} \cdot \cos \alpha \]
এখন, \( T^2 / R \) নির্ণয় করুন:
\[ \frac{T^2}{R} = \frac{T^2}{\frac{g T^2}{2 \sin \alpha} \cdot \cos \alpha} \]
অবস্থান পরিবর্তন করুন:
\[ \frac{T^2}{R} = \frac{1}{ \frac{g}{2 \sin \alpha} \cdot \cos \alpha } \]
অর্থাৎ:
\[ \frac{T^2}{R} = \frac{2 \sin \alpha}{g \cos \alpha} \]
প্রমাণ করুন যে, \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\), তাই:
\[ \frac{T^2}{R} = \frac{2 \tan \alpha}{g} \]
সুতরাং, উত্তর:
\( \boxed{\frac{T^2}{R} = \frac{2}{g} \tan \alpha} \)