প্রক্ষেপকের ভ্রমণকাল T, আনুভূমিক পাল্লা R এবং অনুভূমিকভাবে সঙ্গে প্রক্ষেপন কোণ α হলে, T²/R=?

সমাধান:

প্রশ্ন অনুযায়ী, প্রক্ষেপকের ভ্রমণকাল \( T \), আনুভূমিক পাল্লা \( R \), এবং প্রক্ষেপন কোণ \( \alpha \)।

প্রক্ষেপণের জন্য সমীকরণগুলি নিন।

প্রক্ষেপণের মূল সমীকরণ:

• উচ্চতা: \( y = v_{0} \sin \alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 \)
• আনুভূমিক দূরত্ব: \( R = v_{0} \cos \alpha \cdot T \)

যেখানে, \( v_{0} \) হল প্রাথমিক গতি।

প্রথমে, ভ্রমণের সময় \( T \) নির্ণয় করুন।

প্রক্ষেপণের সময় যখন লক্ষ্যবস্তুতে পৌঁছায়, তখন উচ্চতা শূন্য হয়, অর্থাৎ:

\[ y = 0 = v_{0} \sin \alpha \cdot T - \frac{1}{2} g T^2 \]

এখানে, \( T \neq 0 \), তাই:

\[ v_{0} \sin \alpha = \frac{1}{2} g T \]

অথবা,

\[ v_{0} = \frac{g T}{2 \sin \alpha} \]

এখন, আনুভূমিক দূরত্ব \( R \):

\[ R = v_{0} \cos \alpha \cdot T \]

এখানে, \( v_{0} \) এর মান বসান:

\[ R = \left( \frac{g T}{2 \sin \alpha} \right) \cdot \cos \alpha \cdot T \]

এটি সরলীকরণ করুন:

\[ R = \frac{g T^2}{2 \sin \alpha} \cdot \cos \alpha \]

এখন, \( T^2 / R \) নির্ণয় করুন:

\[ \frac{T^2}{R} = \frac{T^2}{\frac{g T^2}{2 \sin \alpha} \cdot \cos \alpha} \]

অবস্থান পরিবর্তন করুন:

\[ \frac{T^2}{R} = \frac{1}{ \frac{g}{2 \sin \alpha} \cdot \cos \alpha } \]

অর্থাৎ:

\[ \frac{T^2}{R} = \frac{2 \sin \alpha}{g \cos \alpha} \]

প্রমাণ করুন যে, \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\), তাই:

\[ \frac{T^2}{R} = \frac{2 \tan \alpha}{g} \]

সুতরাং, উত্তর:

\( \boxed{\frac{T^2}{R} = \frac{2}{g} \tan \alpha} \)