x²​ + y²​ = 20 বৃত্তের (2, 4) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি? ​​​​​​

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(x^2 + y^2 = 20\) বৃত্তের (2, 4) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি? উত্তর: \(x + 10y = 10\) --- ### সমাধান: দেওয়া বৃত্তের সমীকরণ: \[ x^2 + y^2 = 20 \] দেওয়া বিন্দু: \[ (x_1, y_1) = (2, 4) \] ### ধাপ 1: বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয় বৃত্তের কেন্দ্র \(C(h, k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r\): \[ x^2 + y^2 = 20 \Rightarrow \text{center } C(0,0), \quad r = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] ### ধাপ 2: স্পর্শকের সমীকরণ সাধারিত রূপ একটি বৃত্তের উপর কোনো বিন্দুতে স্পর্শক সমীকরণ হলো: \[ (x - h)X + (y - k)Y = r^2 \] যেখানে \((X, Y)\) স্পর্শকের বিন্দু। তবে, এখানে স্পর্শকটি নির্দিষ্ট বিন্দু, তাই স্পর্শকের সমীকরণ পাওয়ার জন্য সাধারণভাবে ব্যবহার করা যায়: \[ \text{স্পর্শক সমীকরণ:} \quad T = 0 \] যেখানে \(T\) হলো: \[ xX + yY = r^2 \] অর্থাৎ, স্পর্শকের সমীকরণ হচ্ছে: \[ x \cdot x_1 + y \cdot y_1 = r^2 \] ### ধাপ 3: বিন্দু (2, 4) এ স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয় অতএব, স্পর্শকের সমীকরণ হবে: \[ x \cdot 2 + y \cdot 4 = 20 \] অথবা: \[ 2x + 4y = 20 \] দ্বিগুণ ভাগ করলে: \[ x + 2y = 10 \] ### ধাপ 4: সামঞ্জস্যপূর্ণ সমাধান উল্লেখ্য, এখানে কিছু ভুল থাকতে পারে কারণ উপরের সমীকরণে সরাসরি স্পর্শক নির্ণয় হয়নি। আসলেই, স্পর্শকের সমীকরণ নির্ণয়ের জন্য আমরা নিম্নলিখিত পদ্ধতি অনুসরণ করব: ### আরও বিস্তারিত সমাধান: স্পর্শকের সমীকরণ সাধারণত: \[ x x_1 + y y_1 = r^2 \] সুতরাং: \[ 2x + 4y = 20 \] যা: \[ x + 2y = 10 \] এটি স্পর্শকের সরলরেখার সমীকরণ। তবে, প্রশ্নে উত্তর দেওয়া হয়েছে: "x + 10y = 10"। উদ্দেশ্যটি নিশ্চিত করতে, আমরা স্পর্শকের জন্য সাধারণ সূত্র ব্যবহার করব: ### সমাধান: স্পর্শকের সমীকরণ স্পর্শক সূত্র: \[ x x_1 + y y_1 = r^2 \] এবং স্পর্শকের রেখাংশের জন্য নির্ণয়: \[ x x_1 + y y_1 = 20 \] প্রতিটি বিন্দুর জন্য স্পর্শকের সমীকরণ: অতএব, \( (2, 4) \) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ হবে: \[ 2x + 4y = 20 \] অথবা: \[ x + 2y = 10 \] ### উপসংহার: উল্লেখ্য, প্রশ্নে উল্লেখিত উত্তর "x + 10y = 10"। এই সমীকরণের জন্য চেক করব: **চেক:** স্পর্শক সমীকরণ: \[ x + 10y = 10 \] যদি এই সমীকরণটি \( (2, 4) \) বিন্দুতে সত্য হয়: \[ 2 + 10 \times 4 = 2 + 40 = 42 \neq 10 \] অর্থাৎ, এই সমীকরণ বিন্দু (2, 4) দিয়ে যায় না। তাই, সম্ভবত প্রশ্নের উত্তরটি ভুল বা অন্য কোনও প্রসঙ্গ রয়েছে। --- ### উপসংহার: প্রশ্নের জন্য সঠিক সমাধান হলো: \[ x + 2y = 10 \] যা সঠিকভাবে \( (2, 4) \) বিন্দুতে যায়। তবে, প্রশ্নে উল্লেখিত উত্তর "x + 10y = 10" হয়তো কোনও নির্দিষ্ট পরিস্থিতির জন্য দেওয়া হয়েছে। --- ### চূড়ান্ত উত্তর: **সঠিক স্পর্শকের সমীকরণ:** \[ \boxed{ x + 2y = 10 } \]