Suppose 7 students are staying in a room of a hostel and they are allotted 7 beds placed one after another. Among them X does not want a bed next to Y, because he snores. Then, in how many ways,  can you allot the beds ?  

ধরি, X এবং Y দুইজন শিক্ষার্থী। মোট ৭ জন শিক্ষার্থী একটি হোস্টেলের একটি কক্ষে আছে, যেখানে ৭টি বিছানা একটির পর একটি করে সাজানো আছে। X, Y এর পাশে বিছানা চায় না, কারণ Y নাক ডাকে। এখন, কত উপায়ে বিছানাগুলো বরাদ্দ করা যেতে পারে?

মোট সম্ভাব্য উপায়: কোনো শর্ত ছাড়াই ৭ জন শিক্ষার্থীকে ৭টি বিছানায় সাজানো যায় \(7!\) উপায়ে।

\(7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\)

যখন X এবং Y একসাথে থাকে:

X এবং Y কে একটি একক ইউনিট হিসেবে ধরি। তাহলে আমাদের ৬টি ইউনিট আছে (৫ জন শিক্ষার্থী + ১টি X-Y এর ইউনিট)। এই ৬টি ইউনিটকে \(6!\) উপায়ে সাজানো যায়।

আবার, X এবং Y নিজেদের মধ্যে ২ উপায়ে সাজানো যেতে পারে (XY অথবা YX)।

সুতরাং, X এবং Y একসাথে থাকলে মোট উপায় \(2 \times 6! = 2 \times 720 = 1440\)

নির্ণেয় উপায়: X এবং Y একসাথে না থেকে বিছানা বরাদ্দ করার উপায়:

মোট উপায় - X এবং Y একসাথে থাকার উপায়

\(5040 - 1440 = 3600\)

অতএব, বিছানাগুলো ৩৬০০ উপায়ে বরাদ্দ করা যেতে পারে যেন X, Y এর পাশে না থাকে। 🎉